Cálculo de la ortodrómica

Se quiere navegar del punto A al punto B -situados ambos sobre la superficie de una esfera- por el camino más corto (geodésica), esto es, siguiendo el arco de curva ortodrómica (un círculo máximo) que pasa por los dos puntos. En navegación, este problema de trigonometría esférica es muy importante. Para resolverlo, basta con utilizar el teorema de los cosenos -que también utilizamos en navegación astronómica para resolver el llamado triángulo de posición-,que reza lo siquiente: dado un triángulo esférico de vértices $A,B$, $C$, y de lados $a,b$ y $c$ -donde $a$ es el lado opuesto a $A$; $b$ es la lado opuesto a $B$ y $c$ es el opuesto a $C$-, entonces se cumple que $$\cos\,a=\cos\,b\cdot \cos\,c+\sin\,b\cdot \sin\,c\cdot cos \,\hat{A}$$ $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a\cdot \sin\,c\cdot cos\, \hat{B}$$ $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a\cdot \sin\,b\cdot cos\, \hat{C}$$ Otros resultados útiles que podemos destacar del estudio de la trigonometría esférica son el teorema de los senos, y el teorema de las cotangentes, en los que se afirma lo siguiente:
Teorema de los senos:
$$\dfrac{\sin\,a}{\sin\,\hat{A}}=\dfrac{\sin\,b}{\sin\,\hat{B}}=\dfrac{\sin\,c}{\sin\,\hat{C}}$$ Teorema de las cotangentes:
$$\cot\,a\cdot \sin\,b=\cos\,b\cdot \cos\,\hat{C}+\sin\,\hat{C}\cdot \cot\,\hat{A}$$ $$\cot\,b\cdot \sin\,c=\cos\,c\cdot \cos\,\hat{A}+\sin\,\hat{A}\cdot \cot\,\hat{B}$$ $$\cot\,c\cdot \sin\,a=\cos\,a\cdot \cos\,\hat{B}+\sin\,\hat{B}\cdot \cot\,\hat{C}$$

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Supongamos que nos encontramos en la superficie de la Tierra ( que consideraremos idealmente como una esfera ). Conocemos las coordenadas geográficas las coordenadas geográficas ( latitud y longitud ) del punto inicial y del punto final del camino, $(\ell_A,L_A)$ y $(\ell_B,L_B)$, y nos interesa calcular el valor del rumbo inicial a seguir, $\hat{R_0}$ ( rumbo que deberá ir corrigiéndose a medida que naveguemos ) así como la longitud del trozo de ortodrómica - a navegar - entre $A$ y $B$, que denotaremos por $d_{AB}$.

Fig. 1: Triángulo esférico en el que se muestra la trayectoria/derrota ortodrómica a seguir desde el punto A hasta el punto B

En dicho triángulo esférico sabemos que, por el teorema del coseno ( fórmulas de Bessel ): $$\cos(d_{AB})=\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)$$ fórmula que nos permite calcular $d_{AB}$   (2), pues las cantidades del segundo miembro son datos del problema. Así, tendremos que $$d_{AB}=\arccos\,\left(\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)\right)$$ Obviamente, el valor obtenido vendrá dado en grados, así que para obtener la distancia en millas náuticas bastará expresar el resultado en minutos de arcos, habida cuenta de que una milla náutica equivale a un minuto de arco de meridiano (1).

Por otra parte, para conocer el rumbo inicial a seguir (desde el punto de partida $A$), podemos utilizar varios procedimientos:
I) Por el teorema de la cotagente: $$\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)=\cos(90^{\circ}-\ell_A) \cdot \cos(L_B-L_A) + \sin (L_B-L_A)\cdot \cot(\hat{R_0})$$ Teniendo en cuenta que $\cot(\hat{R_0})=\dfrac{1}{\tan(\hat{R_0)}}$, despejando se obtiene (2): $$\tan(\hat{R_0})=\dfrac{\sin(\ell_B-\ell_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}$$ y por tanto $$\hat{R_0}=\arctan \left(\dfrac{\sin(L_B-L_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}\right)$$
II) Otra vez, utilizando la fórmula de Bessel (aplicándolo ahora a otro lado del triángulo) habida cuenta de que ya habremos calculado el lado $d_{AB}$: $$\cos(90^{\circ}-\ell_B)=\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})+\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})\cdot \cos(\hat{R_0})$$ de donde, depejando $\hat{R_0}$, se llega a $$\hat{R_0}=\arccos\left( \dfrac{\cos(90^{\circ}-\ell_B)- \cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})}{\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})} \right)$$
III) Y, también ( habiendo calculado ya $d_{AB}$ ), por el teorema del seno, podemos escribir $$\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)}{\sin(\hat{R_0})}\overset{*}{=}\dfrac{\sin(d_{AB)})}{\sin(L_B-L_A)}=\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_A)}{\sin(\hat{B})}$$ luego por (*), $$\hat{R_0}=\arcsin\left( \dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(L_B-L_A)}{\sin(d_{AB})}\right)$$ -oOo- Observaciones:
(1) Una milla náutica equivale a $1\,852$ metros

(2) El valor, en grados, de dicho resultado hay que interpretarlo correctamente a la hora de ponernos a rumbo. Conviene, en este caso, expresarlo en forma cuadrantal. Pongamos en un supuesto de que el resultado de $\hat{R_0}$ extraído de la fórmula fuese pongamos que de $40^{\circ}$, y que $\ell_B \succ \ell_A$ y $L_B \prec L_A$ ( lo cual nos indica que nos dirigimos hacia algún punto del cuarto cuadrante ) - en náutica la numeración de los cuadrantes se efectúa en el sentido horario partiendo del primero, que está comprendido entre el Norte y el Este, esto es, nos dirigimos hacia algún punto del cuadrante comprendido entre el Norte y el Oeste -, por lo que el rumbo cuadrantal a seguir sería $N40^{\circ}W$, lo que equivale a $360^{\circ}-40^{\circ}=320^{\circ}$ en su expresión dada como rumbo circular.

(3) Para realizar estos cálculos es suficiente una calculadora científica básica


Referencias:
[1] Geometría_esférica, Wikipedia
[2] Trigonometría_esférica, Wikipedia
[3] QUINTANA, J.S., Capitanes de yate (Gráficas 92, Barcelona, 2001)
[4] MOREU, J.M.; MARTÍNEZ, J., Astronomía y Navegación (Librería San José, Vigo, 1987)
[5] MEDEROS, L., Navegación Astronómica (Tutor, Madrid, 2016)