Càlcul de la derrota ortodrómica

Considerant la superfície de la Terra com una esfera (superfície esfèrica) ens introduïrem, ara, en el món de les geometries no euclidianes, resolent el següent problema pràctic de geometria esfèrica:

Problema:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Resoldrem aquest problema al final de l'escrit i exposarem un exemple concret. Per això, primer de tot, cal que exposem algunes nocions essencials i els conceptes bàsics de la geometria esfèrica. Tot seguit, justificarem unes fórmules trigonomètriques vàlides per als triangles esfèrics (no ens estendrem a parlar d'altres que no necessitarem aquí): les igualtats de Bessel (grup I), les quals justificarem a partir de les relacions elementals de la trigonometria plana (Figura 2). Aquestes igualtats ens permetran arribar a la solució del problema pràctic plantejat al començament.

GEOMETRIES NO EUCLIDIANES

Una geometria és no euclidiana si aquesta es pot desenvolupar de manera consistent, a partir de la negació d'algun dels cinc postulats d'Euclides; en aquest cas (el de la geometria el·líptica i, en particular, de la g. esfèrica) - entre altres - es nega el cinquè postulat d'Euclides:
(...) per un punt exterior a una "recta" hi passa una única "recta" paral·lela a la donada. , afirmant que: "No hi ha cap recta paral·lela a la donada que passi per un punt exterior a una "recta" donada (geometria el·líptica [Riemann]).

Abans de continuar amb aquesta introducció, cal fer precisió sobre el concepte de "recta" (per això ho podem llegir, aquí, entre cometes): cal entendre per "recta" en una superfície donada (no necessàriament plana - euclidiana -) la corba de longitud mínima que uneix dos punts de la superfície; aquesta corba s'anomena geodèsica i, de seguida, en parlarem amb més detall.

Un altre tipus de geometria no euclidiana n'és la geometria hiperbòlica [Bolyai (1775-1855), Lobachevsky (1792-1856), Gauss (1777-1855)] que nega el cinquè postulat, afirmant que hi ha, no una sola, ans infinites "rectes" paral·leles que passen per un punt exterior a la "recta" donada.

GEOMETRIA DE LA SUPERFÍCIE ESFÈRICA:

Hem vist que la geometria de la superfície d'una esfera és un cas concret de geometria no euclidiana; és un cas particular de geometria el·líptica [un cas particular de g. de Riemann (1826-1866)] que, en particular, en el cas de l'esfera, s'anomena geometria esfèrica.

En una esfera, anomenem cercle màxim a la secció que s'obté en intersectar un que passi pel centre de l'esfera amb la superfície d'aquesta. Un triangle esfèric és, doncs, la intersecció de tres circumferències corresponents als respectius cercles màxims.

Considerarem un triangle esfèric, com ara el triangle $ABC$ (Figura 1). Els punts $A$, $B$ i $C$ s'anomenen vèrtexs del triangle esfèric, i els costats $a$, $b$ i $c$ són els costats del mateix que, donat que representen arcs de circumferència, els podem mesurar donant la magnitud del seu angle central. Per altra banda, els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ corresponen als angles que formen els plans que tallen l'esfera i passen pel seu centre:
$\alpha \equiv \angle (OAC, OAB)$
$\beta \equiv \angle (OBC, OAB)$
$\gamma \equiv \angle (OAC, OBC)$

Els costats d'aquest triangle (esfèric) són arcs de cercles màxims. Una propietat elemental a remarcar és la que fa referència a la suma dels angles d'un triangle esfèric: $\alpha + \beta + \gamma \ge 180º$, un símptoma clar que aquesta geometria ja no és la euclidiana.

Donada una superfície, anomenem geodèsica a la corba que uneix dos punts de la mateixa pel camí més curt possible. En una esfera, aquesta corba és el contorn del cercle màxim (circumferència) que passa per tots dos punts.

LES FÓRMULES DE BESSEL (GRUP I) SOBRE ELS TRIANGLES ESFÈRICS

Analitzant acuradament el triangle esfèric de la Figura 2 deduirem un conjunt de tres fórmules que expressen una relació entre els costats del triangle ($a$, $b$ i $c$) i els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$) i que ens permetran resoldre el problema plantejat al començament de l'escrit. Val a dir que aquestes tres igualtats [grup I de Bessel (Friedrich Bessel, 1784-1846] no són pas les úniques relacions que es poden deduir; aquí - per tal de no estendre'ns en excés - tan sols farem ús de les que necessitem.

Observem (Figura 2) que
$\overline{OT}=\overline{OM}+\overline{MT} \quad \quad (1)$

Figura 2

Representació del triangle esfèric ABC. El sistema de referència, format per l'origen de coordenades $O$ (situat al centre de l'esfera) i els eixos perpendiculars $Ox$, $Oy$ i $Oz$, configura el triedre de plans perpendiculars Oxy, Oxz i Oyz. Hem girat convenientment el sistema de referència per tal que - no hi ha pèrdua de validesa en això - un dels vèrtexs del triangle esfèric es trobi damunt d'un dels tres eixos (en el cas de la figura, el vèrtex $C$ es troba damunt l'eix Oy) i un dels costats del triangle es trobi damunt d'un dels plans (en el cas de la figura, el costat $a$ es troba damunt del pla Oxy.

Tenint en compte els triangles rectangles plans
$\triangle{OMR}$
i
$\triangle{RNS}$
podem escriure les raons trigonomètriques de l'angle $a$

$\cos{a}=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OR}}$
i
$\sin{a}=\dfrac{\overline{MT}}{\overline{RS}}$

substiuint aquestes expressions a (1) trobem
$\overline{OT}=\overline{OR}\cdot \cos{a}+\overline{RS}\cdot \sin{a} \quad \quad (1')$

per altra banda, dels triangles $\triangle{OTA}$, $\triangle{ORA}$ i $\triangle{RSA}$, podem escriure
$\cos{b}=\dfrac{\overline{OT}}{\overline{OA}}$
$\cos{c}=\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OA}}$
$\sin{c}=\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RO}}$
i
$\cos{\beta}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{RA}}$
on $\beta$ designa l'angle $\angle(SRA)$

llavors, la igualtat (1') es pot escriure de la forma
$\overline{OA} \cdot \cos{(b)}=\overline{OA} \cdot \cos{(c)}\,\cos{(a)}+\overline{OA} \cdot \sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)}$
i, simplificant, arribem a una de les tres igualtats de la trigonometria esfèrica
grup I de Bessel que es coneix com a grup I de Bessel:

$\cos{(b)}=\cos{(c)}\,\cos{(a)}+\sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)} \quad \quad (I1)$

Si permutem els costats (i angles) de la fórmula, podem escriure dues relacions més

$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)} \quad \quad (I2)$
$\cos{(c)}=\cos{(a)}\,\cos{(b)}+\sin{(a)}\,\sin{(b)}\,\cos{(\gamma)} \quad \quad (I3)$

CÀLCUL DE LA LONGITUD DE L'ARC DE GEODÈSICA DAMUNT D'UNA ESFERA

Quan ens referim a la superfície de la Terra, es coneix també com a problema del càlcul de la longitud de l'ortodròmica (Navegació) al problema que, ara, resoldrem fent ús del que s'ha dit anteriorment.

Recordem l'enunciat del problema plantejat al començament de l'escrit:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Entendrem que, aquí, en aquest problema, els vèrtexs del triangle esfèric (figures 1 i 2) tenen els següent significat:

    Fem coincidir $A$ amb el Pol Nord geogràfic

    El vèrtex $B$ correspon al punt de la trajectòria ortodròmica $P_{1}(l_1,L_1)$ (un dels extrems de la geodèsica)

    El vèrtex $C$ correspon al punt $P_{2}(l_2,L_2)$ (l'altre extrem de la geodèsica)

    El costat $a$ representa representa la longitud del camí entre els dos extrems de la geodèsica (distància mínima entre tots dos punts) que anomenarem $s$ (longitud de l'ortodròmica entre aquest dos punts). El valor de la magnitud de $s$ entre els dos punts $P_1$ I $P_2$, la trobarem, primer, expressada en unitats angulars, per bé que, al final, la convertirem a unitats de longitud, tenint en compte l'equivalència entre les untitats angulars d'arc de circumferència de cercle màxim - és a dir, de meridià (geodèsica de la superfície d'una esfera) - i les unitats de longitud d'arc.

Llavors, partint de la igualtat (I2)
$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)}$
i tenint en compte el significat concret dels elements del triangle que acabem d'explicar quan el vèrtex $A$ el fem coincidir amb el Pol Nord cal escriure:
$b=90º-l_1$ i, per tant, $\cos{(b)}=\sin{(l_1)}$   i   $\sin{(b)}=\cos{(l_1)}$
$c=90º-l_2$ i, per tant, $\cos{(c)}=\sin{(l_2)}$   i   $\sin{(c)}=\cos{(l_2)}$

Per altra banda, $\alpha$ representa la diferència de longituds entre els dos extrems del camí $P_1$ i $P_2$
és a dir
$\alpha=\left|L_1-L_2\right|$, que anomenarem $\Delta \, L$

A partir de tot això ja tenim el càlcul a punt:
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$

Tindrem en compte que el valor de la latitud d'un punt sobre la superfície de l'esfera és positiu si el punt es troba a l'hemisferi Nord; i negatiu, si es troba a l'hemisferi Sud. No cal dir que la coordenada de longitud (el valor de $L$) cal donar-les també amb el signe corresponent (positiva si es troba a l'Est del meridià zero, i negativa si es troba a l'Oest d'aquest meridià de referència).

Per acabar, i anomenant $k$ al valor del segon membre de la igualtat anterior [ $\cos{s}=k$ ($-1 \le k \le 1$ ] trobarem el valor de $s$ fent ús de la recíproca de la funció cosinus:
$s = \arccos{k}$ (prenent valors entre 0º i 360º)

Per calcular la longitud d'arc de cercle màxim entre dos punts (del camí sobre la geodèsica) en unitats de longitud, tindrem en compte que $1'$ d'arc de meridià terrestre [ la longitud d'un meridià és igual a la de la circumferència d'un cercle màxim ] equival a $1 \, \text{milla \, nàutica}$   ( $1 \, \text{milla \, nàutica} \approx 1\,852 \, m$ ).

EXEMPLE:

Enunciat:
Determineu la distància sobre la geodèsica $s$ entre els punts:
$P_1$, de coordenades $l_1=-5º \, \text{S}$, $L_2=40º \, \text{E}$
i
$P_2$, de coordenades $l_1=45º \, \text{N}$, $L_2=60º \, \text{W}$

Resolució:
Tenint en compte que $\Delta L = |40º-(60º)|= 100º$
així com les dades de les latituds, la fórmula de Bessel
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$
ens dóna el següent valor
$\cos{(s)}=\sin{(-5º)}\,\sin{(45º)}+\cos{(-5º)}\,\cos{(45º)}\,\cos{(100º)}$
és a dir
$\cos{(s)}\approx -0,1839$
per tant
$s = \arccos{(-0,1839)} \approx 100,5999º$
i convertint a minuts d'arc de meridià (de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) multiplicant per $60$ (minuts que té cada grau) trobem
$s \approx 6036 \,'$
i com que $1'$ d'arc de meridià (i, en general, de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) equival a $1 \, \text{milla nàutica}$
el camí entre els dos punts té una longitud de $6036 \, \text{milles \, nàutiques}$
Si ho volem expressar en quilòmetres, cal recordar que $1' \, \text{(d'arc de meridià)} = 1 \, \text{milla nàutica} \approx 1\,852 \, \text{m} $
per tant
$s \approx 11\,179 \, \text{km}$

-oOo-

Nota sobre la notació:
La latitud, $l$, també se sol notar amb la lletra grega $\delta$; y la longitud, $L$, amb la lletra grega $\varphi$.

$\diamond$

Cálculo de la ortodrómica

Se quiere navegar del punto A al punto B -situados ambos sobre la superficie de una esfera- por el camino más corto (geodésica), esto es, siguiendo el arco de curva ortodrómica (un círculo máximo) que pasa por los dos puntos. En navegación, este problema de trigonometría esférica es muy importante. Para resolverlo, basta con utilizar el teorema de los cosenos -que también utilizamos en navegación astronómica para resolver el llamado triángulo de posición-,que reza lo siquiente: dado un triángulo esférico de vértices $A,B$, $C$, y de lados $a,b$ y $c$ -donde $a$ es el lado opuesto a $A$; $b$ es la lado opuesto a $B$ y $c$ es el opuesto a $C$-, entonces se cumple que $$\cos\,a=\cos\,b\cdot \cos\,c+\sin\,b\cdot \sin\,c\cdot cos \,\hat{A}$$ $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a\cdot \sin\,c\cdot cos\, \hat{B}$$ $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a\cdot \sin\,b\cdot cos\, \hat{C}$$ Otros resultados útiles que podemos destacar del estudio de la trigonometría esférica son el teorema de los senos, y el teorema de las cotangentes, en los que se afirma lo siguiente:
Teorema de los senos:
$$\dfrac{\sin\,a}{\sin\,\hat{A}}=\dfrac{\sin\,b}{\sin\,\hat{B}}=\dfrac{\sin\,c}{\sin\,\hat{C}}$$ Teorema de las cotangentes:
$$\cot\,a\cdot \sin\,b=\cos\,b\cdot \cos\,\hat{C}+\sin\,\hat{C}\cdot \cot\,\hat{A}$$ $$\cot\,b\cdot \sin\,c=\cos\,c\cdot \cos\,\hat{A}+\sin\,\hat{A}\cdot \cot\,\hat{B}$$ $$\cot\,c\cdot \sin\,a=\cos\,a\cdot \cos\,\hat{B}+\sin\,\hat{B}\cdot \cot\,\hat{C}$$

-oOo-

Supongamos que nos encontramos en la superficie de la Tierra ( que consideraremos idealmente como una esfera ). Conocemos las coordenadas geográficas las coordenadas geográficas ( latitud y longitud ) del punto inicial y del punto final del camino, $(\ell_A,L_A)$ y $(\ell_B,L_B)$, y nos interesa calcular el valor del rumbo inicial a seguir, $\hat{R_0}$ ( rumbo que deberá ir corrigiéndose a medida que naveguemos ) así como la longitud del trozo de ortodrómica - a navegar - entre $A$ y $B$, que denotaremos por $d_{AB}$.

Fig. 1: Triángulo esférico en el que se muestra la trayectoria/derrota ortodrómica a seguir desde el punto A hasta el punto B

En dicho triángulo esférico sabemos que, por el teorema del coseno ( fórmulas de Bessel ): $$\cos(d_{AB})=\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)$$ fórmula que nos permite calcular $d_{AB}$   (2), pues las cantidades del segundo miembro son datos del problema. Así, tendremos que $$d_{AB}=\arccos\,\left(\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)\right)$$ Obviamente, el valor obtenido vendrá dado en grados, así que para obtener la distancia en millas náuticas bastará expresar el resultado en minutos de arcos, habida cuenta de que una milla náutica equivale a un minuto de arco de meridiano (1).

Por otra parte, para conocer el rumbo inicial a seguir (desde el punto de partida $A$), podemos utilizar varios procedimientos:
I) Por el teorema de la cotagente: $$\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)=\cos(90^{\circ}-\ell_A) \cdot \cos(L_B-L_A) + \sin (L_B-L_A)\cdot \cot(\hat{R_0})$$ Teniendo en cuenta que $\cot(\hat{R_0})=\dfrac{1}{\tan(\hat{R_0)}}$, despejando se obtiene (2): $$\tan(\hat{R_0})=\dfrac{\sin(\ell_B-\ell_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}$$ y por tanto $$\hat{R_0}=\arctan \left(\dfrac{\sin(L_B-L_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}\right)$$
II) Otra vez, utilizando la fórmula de Bessel (aplicándolo ahora a otro lado del triángulo) habida cuenta de que ya habremos calculado el lado $d_{AB}$: $$\cos(90^{\circ}-\ell_B)=\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})+\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})\cdot \cos(\hat{R_0})$$ de donde, depejando $\hat{R_0}$, se llega a $$\hat{R_0}=\arccos\left( \dfrac{\cos(90^{\circ}-\ell_B)- \cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})}{\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})} \right)$$
III) Y, también ( habiendo calculado ya $d_{AB}$ ), por el teorema del seno, podemos escribir $$\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)}{\sin(\hat{R_0})}\overset{*}{=}\dfrac{\sin(d_{AB)})}{\sin(L_B-L_A)}=\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_A)}{\sin(\hat{B})}$$ luego por (*), $$\hat{R_0}=\arcsin\left( \dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(L_B-L_A)}{\sin(d_{AB})}\right)$$ -oOo- Observaciones:
(1) Una milla náutica equivale a $1\,852$ metros

(2) El valor, en grados, de dicho resultado hay que interpretarlo correctamente a la hora de ponernos a rumbo. Conviene, en este caso, expresarlo en forma cuadrantal. Pongamos en un supuesto de que el resultado de $\hat{R_0}$ extraído de la fórmula fuese pongamos que de $40^{\circ}$, y que $\ell_B \succ \ell_A$ y $L_B \prec L_A$ ( lo cual nos indica que nos dirigimos hacia algún punto del cuarto cuadrante ) - en náutica la numeración de los cuadrantes se efectúa en el sentido horario partiendo del primero, que está comprendido entre el Norte y el Este, esto es, nos dirigimos hacia algún punto del cuadrante comprendido entre el Norte y el Oeste -, por lo que el rumbo cuadrantal a seguir sería $N40^{\circ}W$, lo que equivale a $360^{\circ}-40^{\circ}=320^{\circ}$ en su expresión dada como rumbo circular.

(3) Para realizar estos cálculos es suficiente una calculadora científica básica


Referencias:
[1] Geometría_esférica, Wikipedia
[2] Trigonometría_esférica, Wikipedia
[3] QUINTANA, J.S., Capitanes de yate (Gráficas 92, Barcelona, 2001)
[4] MOREU, J.M.; MARTÍNEZ, J., Astronomía y Navegación (Librería San José, Vigo, 1987)
[5] MEDEROS, L., Navegación Astronómica (Tutor, Madrid, 2016)