Determinación de la situación geográfica verdadera mediante la intersección de, al menos, dos rectas de altura

El objetivo de la Navegación Astronómica es, básicamente, el de determinar las coordenadas geográficas del navegante o situación verdadera $(\ell,L)$ a una determinada hora HTU, a partir de la medición de la altura de varios astros -por lo menos dos-, realizadas cada una en ellas en las respectivas horas TU, teniendo en cuenta la situación estimada -latitud y longitud estimadas, en dichos momentos $(\widetilde{\ell},\widetilde{L})-$, la cual se habrá obtenido aplicando los procedimientos de la navegación por estima desde la última situación verdadera conocida, sabiendo desde luego cuál ha sido el rumbo y velocidad efectivos de su embarcación hasta el momento de obtener la nueva situación verdadera, para lo cual se suele utilizar el procedimiento analítico de la derrota loxodrómica. Para cada astro observado -dos es, en principio, el número mínimo- determinaremos la correspondiente recta de altura, y, una vez trazadas en una carta en blanco el punto de intersección corresponderá a nuestra situación verdadera. Para poder determinar las rectas de altura necesitaremos resolver los correspondientes triángulos de posición, cuyas magnitudes son las mismas que las de sus triángulos homólogos, los triángulos de altura; y, para ello, será necesario utilizar las fórmulas de Bessel de la trigonometría esférica.

Recta de altura de un astro

La altura de un astro sobre el horizonte verdadero se obtienen mediante el uso del sextante y de las correcciones necesarias a la altura instrumental que leemos en el instrumento, lo cual da lugar a la altura verdadera $a_v$ del mismo en el momento de la observación. Se anota la hora correspondiente de dicha observación con una precisión al segundo. A partir de la hora TU en la que se ha tomado la altura de un astro, el Almanaque Náutica proporciona las coordenadas ecuatoriales del mismo (declinación y ángulo sidéreo), así como el horario en Greenwich del punto vernal de Aries, que es una referencia sidérea en base a la cual podremos calcular el ángulo horario local del astro $$hl_\star=hG_A+AS_\star-\widetilde{L}$$

Con dicho horario local del astro, $hl_\star$, junto con la declinación del astro $d_\star$, obtendremos así dos cantidades esenciales que son los parámetros de la recta de altura; con ellos podremos trazarla en una carta en blanco. Para calcularlos necesitaremos resolver el triángulo de altura cuyos vértices son el polo, el astro y el azimut estimado, tal y como veremos enseguida. Dichos parámetros son la diferencia de altura, $\Delta\,a:=a_v-\widetilde{a}$ y el azimut $\widehat{\widetilde{Z}}$ -no es el mismo azimut que el verdadero, $\widehat{Z}$-. Las cantidades $\widetilde{a}$ y $\widehat{\widetilde{Z}}$ denotan la altura y el azimut calculados en el supuesto de que la observación del astro la hubiésemo hecho desde la situación estimada $(\widetilde{\ell},\widetilde{L})$. Veremos a continuación la razón de ser de estos parámetros determinantes de la recta de altura.

En la esfera celeste sabemos que alrededor del vértice correspondiente al $A$ (astro $\star$) en el triángulo de altura de vértices $P,A$ y $\widetilde{Z})$, se centra la circunferencia de altura (almicantarat), cuyo radio es el complemento a $90^\circ$ de la altura verdadera del mismo -dicha circunferencia de altura es la misma que la que trazamos con centro en el vértice $A$ en el triángulo de altura verdadero de vértices $P,A$ y $Z$-, de manera que la intersección del lado $A\,\widetilde{Z}$ de ese triángulo esférico y de la circunferencia de altura sobre la superficie de la esfera es un punto que designaremos por $T$.

El triángulo esférico que podemos construir en la superficie de la esfera terrestre uniendo el centro de la misma con cada uno de los puntos del triángulo de altura sobre la esfera celeste es el triángulo de posición, puesto que tanto los ángulos como los lados homológos de cada uno de estos dos triángulos esféricos tienen las mismas magnitudes. En el triángulo de posición sobre la superficie de la Tierra, el vértice homólogo al vértice $P$ del triángulo de altura lo designaremos por $p$ -el polo norte terrestre-, el homólogo del zenit estimado del observador $\widetilde{Z}$ en el triángulo de altura lo denotaremos por $\widetilde{z}$ y el homólogo del vértice $A$ del astro lo denotaremos por $a$ (polo de iluminación del astro). Así pues, al igual que en el triángulo de altura, el lado del triángulo de posición enfrentado a $p$ es el complemento a $90^\circ$ de la altura estimada (desde la posición de observación, que es la de la observación astronómica) $90^\circ-\widetilde{a}$; el lado enfrentado a $\widetilde{z}$ es la codeclinación del astro $\star$, $90^\circ-d_\star$, y el lado enfrentado al otro ángulo (paraláctico) es la colatitud estimada, $90^\circ-\widetilde{\ell}$

Pues bien, al realizar una proyección transversal mercatoriana alrededor de $T$, podemos trazar la semirrecta desde el punto que corresponde a la proyección mercatoriana del punto de situación estimada $(\widetilde{\ell},\widetilde{L})$ -dicho punto es la proyección de $\widetilde{A}$- que pose por la proyección de $A$, esto es, formando un ángulo que corresponde al azimut calculado $\widehat{\widetilde{Z}}$. Y, trazando la recta tangente al arco de curva que resulta de la proyección mercatoriana (sobre el plano) de ese lado del triángulo esférico, habremos construido lo que denominamos recta de altura del astro $A$ de Marcq Saint-Hilaire. La distancia angular de $t$ (proyección sobre el plano de $T$) a $\widetilde{z}$ (proyección de $\widetilde{Z}$) es por tanto la diferencia de alturas $$\Delta\,a=(90^\circ-\widetilde{a})-(90^\circ-a_v)=a_v-\widetilde{a}$$

Queda ahora por exponer cómo calculamos los parámetros de la recta de altura, $\Delta\,a=a_v-\widetilde{a}$ ($a_v$ la habremos medido, pero $\widetilde{a}$ tenemos que calcularla) y $\widehat{\widetilde{Z}}$, que cómo ya hemos anunciado, pasa por la resolución del triángulo de altura (y por tanto del triángulo de posición) de vértices $P,A$ y $\widetilde{Z}$. Los ángulos de dicho triángulo (y los de su homólogo el triángulo de posición) son: el ángulo con vértice $P$ es el ángulo horario local $hl_\star$; el ángulo con vértice $\tilde{Z}$ es el azimut $\widehat{\widetilde{Z}}$ (a calcular), y el ángulo con vértice el astro $\star$ $A$ es el ángulo paraláctico (que no vamos a utilizar aquí, si bien podemos también calcularlo).

Mediante las fórmulas de Bessel podemos resolver cualquier triángulo esférico -en particular, los que aquí aparecen, tienen por lados segmentos de círcunferencias máximas (el meridiano del observador hipotético, el meridiano del astro y la vertical del astro) y por tanto el que aquí nos ocupa, el triángulo de altura o el triángulo de posición. Para ello, basta con emplear las fórmulas de los cosenos del grupo I de Bessel. Así, para determinar $\widetilde{a}$, recurrimos a (conviene dibujar la figura): $$\cos(90^\circ-\widetilde{a})=\cos(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \cos(90^\circ-d)+\sin(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \sin(90^\circ-d)\cdot \cos(hl_\star)$$ que es lo mismo que $$\sin(\widetilde{a})=\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(d)+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(d)\cdot \cos(hl_\star)$$ donde todas las cantidades del segundo miembro son conocidas (la latitud de la situación estimada, la declinación del astro y el ángulo horario local del astro), luego $$\widetilde{a}=\text{arcsin}\left(\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(d)+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(d)\cdot \cos(hl_\star)\right)$$ con lo cual $$\Delta\,a=a_v-\text{arcsin}\left(\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(d)+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(d)\cdot \cos(hl_\star)\right) \quad (1)$$ Para calcular $\widehat{\widetilde{Z}}$, ahora que ya conocemos el valor de $\widetilde{a}$, podemos volver a utilizar las fórmulas del grupo I de Bessel: $$\cos(90^\circ-d)=\cos(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \cos(90^\circ-\widetilde{a})+\sin(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \sin(90^\circ-\widetilde{a})\cdot \cos(\widehat{\widetilde{Z}})$$ es decir, $$\sin(d)=\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(\widetilde{a})+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(\widetilde{a})\cdot \cos(\widehat{\widetilde{Z}})$$ y despejando, $$\cos(\widehat{\widetilde{Z}})=\dfrac{\sin(d)-\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(\widetilde{a})}{\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(\widetilde{a})}$$ con lo cual, $$\widehat{\widetilde{Z}}=\text{arccos}\left(\dfrac{\sin(d)-\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(\widetilde{a})}{\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(\widetilde{a})}\right) \quad (2)$$

Observación: Por comodidad y simplicidad he utilizado aquí las fórmulas de los cosenos (grupo I de Bessel, que son muy fáciles de recordar) para calcular los dos parámetros de la recta de altura, pero también podemos utilizar las fórmulas de los otros grupos de Bessel: II (fórmulas de los senos), III (fórmulas de las contangentes) y IV.

Nota importante: Las rectas de altura se suelen trazar en lo que llamamos una carta en blanco, ya que en navegación de altura no suelen ser de utilidad las cartas náuticas que llevamos a bordo. Para confeccionarla, habida cuenta de que necesitamos hacer estas representaciones gráficas según la proyección transversal de Mercator, tenemos que tener en cuenta que el espaciado en el eje de latitudes aumenta conforme aumenta la latitud, es decir $$\Delta\,\ell = \dfrac{\Delta\,L}{\cos(\widetilde{\ell})}$$ Por tanto, a partir de una recta horizontal, marcaremos el espaciado de las longitudes, y tranzando desde un punto de ésta un recta oblícua que forme un ángulo con ella igual al de la latitud estimada, trazaremos rectas paralelas perpendiculares que pasen por los puntos de división del espaciado horizontal, obteniendo así el espaciado de la recta oblícua (mayor siempre que el de la horizontal). Sobre el espaciado de la recta oblícua mediremos las latitudes y las distancias euclídeas (en millas náuticas, esto es en minutos de arco de meridiano) y sobre el espaciado horizontal mediremos las longitudes geográficas.

Sugerencia: Para automatizar los cálculos con la ayuda de la calculadora científica básica, podemos poner los datos de (1) y (2) en las memorias (ojo con los signos) de la máquina y programar las dos fórmulas. Al ejecutarlas, el obtener los parámetros determinantes de las rectas de altura se convierte en un proceso rápido y seguro. No obstante, como ya he comentado, conviene siempre dibujar las figuras para cotejar lo que vamos obteniendo. $\diamond$

Improvisación de una corredera para medir la velocidad en un velero, con poco o nulo aparataje electrónico

Improvisar una corredera para medir la velocidad en nudos es muy sencillo. Necesitamos una botella de plástico con tapón roscado y una madeja de cabito flotante. Llenando la botella lo suficiente para que flote medio hundida y, con una longitud del cabo flotante algo mayor que $\Delta\,\ell$ (que expresaremos en metros)-enseguida veremos qué longitud resulta práctica para dicha cantidad-. Uniremos el cabo al tapón, haciéndole agujerito para que, con un nudo de retención (un medio doble pescador va bien), podamos pasar un extremo del cabo antes de cerrar el tapón roscado. Desde luego, también necesitaremos un cronómetro (nos sirve el reloj de pulsera) para medir el intervalo de tiempo $\Delta\,t$ (expresado en segundos) entre el paso de los dos nudos que habremos hecho en el cabo, precisamente a una distancia entre ellos igual a $\Delta\,\ell$, esto es, el intervalo de tiempo tiempo entre el instante en que, habiendo largado la botella por popa y ésta esté flotando ya en el agua, pase por nuestra mano cerrada el primero de los dos nudos y el instante en que pase el segundo y último nudo por nuestra mano, y que dista del primero la longitud establecida de antemano, $\Delta\,\ell$. Como vamos a ver, de esta manera, el obtener la velocidad de la embarcación en nudos, esto es, en $\dfrac{\text{millas náuticas}}{\text{h}}$, requiere tan solo de una única operación aritmética de división, que, fácilmente, podremos hacer mentalmente después de haber medido el intervalo de tiempo $\Delta\,t$.

La velocidad media (tasa de variación media de la longitud de camino recorrido) del velero en un intervalo de tiempo $\Delta\,t$, en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, viene dada por $\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t} \quad (1)$, donde $\Delta\,\ell$ es la longitud de camino recorrida (mantenemos el rumbo) expresada en metros y $\Delta\,t$ es el tiempo que transcurre entre dos instantes de tiempo cercanos (la cantidad de tiempo necesario para realizar la tarea de medición), que expresaremos en segundos.

Como lo habitual en náutica es expresar la velocidad en nudos (abreviado, $\text{kn}$) -recordemos que $1\,\text{kn} = 1 \dfrac{\text{milla náutica}}{\text{h}}$, y que $1\,\text{milla náutica}=1852\,\text{m}$ (longitud que corresponde a $1'$ de arco de meridiano)-, haciendo uso de los factores de conversión, para obtener a partir de (1) la velocidad en nudos vendrá dada por: $$v=\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \dfrac{1\,\text{milla náutica}}{1852\,\text{m}}\cdot \dfrac{3600\,\text{s}}{1\,\text{h}}$$ es decir, $$v=\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t} \cdot \dfrac{36}{18,52}\,\text{kn}$$ Si elegimos la longitud de cabo de nuestra corredera de manera que $\Delta\,\ell = 18,52\,\text{m}$; esto es, haciendo dos marcas (o nudos) consecutivos en el cabo separadas entre sí por dicha distancia en particular, calcular la velocidad será un procedimiento muy práctico, puesto que, en estas condiciones: $$v=\dfrac{18,52}{\Delta\,t} \cdot \dfrac{36}{18,52}\,\text{kn}=\dfrac{36}{\Delta\,t} \,\text{kn}$$ Bastará pues, soltar la botella y el cabo al que va unido al tiempo que empezamos a cronometrar. Y en cuanto aparezaca entre nuestras manos la marca (o nudo) final, leemos el tiempo en segundos que ha pasado, $\Delta\,t$, y efectuamos la división $36/\Delta\,t$; el resultado es la velocidad en nudos de nuestro velero.

Por ejemplo si, el tiempo transcurrido para que discurran los $18,52\,\text{m}$ de cabo de la corredera es de $10\,\text{s}$, nuestra velocidad será de $36/10=3,6\,\text{kn}$

Anotando la velocidad que llevamos cada cierto tiempo (anotando también la hora HRB de la medición así como el rumbo que llevamos). Podemos calcular así la velocidad media ponderada (conforme a los intervalos de tiempo correspondientes a cada velocidad media medida) si navegamos a un mismo rumbo, y, por consiguiente, podremos obtener una estimación razonable de la situación de estima a partir de las distancias navegadas entre los correspondientes instantes de tiempo.

Por ejemplo, supongamos que, a un mismo rumbo, entre la hora HRBi=10:00 a a la hora HRBf=12:55 -en un tiempo total de 2 h y 55 min = $175$ min-, hemos medido tres veces la velocidad con la corredera, $v_1=3,6$ kn, la cual se ha mantenido durante $45$ min; $v_2=4,2$ kn, mantenida durante $60$ min, y $v_3=2,5$ kn, mantenida durante los últimos $70$ min. La distancia navegada, por tanto, la calcularemos de la forma $$d=\langle v \rangle \cdot (HRBf-HRBi)$$ siendo $\langle v \rangle$ la media ponderada de las tres velocidades, esto es $$\langle v \rangle=\dfrac{3,6\cdot 45+4,2\cdot 60+3,5\cdot 70}{45+60+70}=\dfrac{603}{175}=\approx 3,4\,\text{kn}$$ .

Entonces, $$d=3,4 \dfrac{\text{millas náuticas}}{\text{h}} \cdot \dfrac{1\,\text{h}}{60\,\text{min}} \cdot 175 \,\text{min} \approx 9,9\,\text{millas náuticas}$$ Finalmente, sobre la carta náutica, trazamos la recta que representa nuestra derrota -corrigiendo, si es necesario, la deriva y el abatimiento- y mediante el traslado del punto de la situación inicial a HRBi la distancia así calculada, $d$, con el compás de puntas secas, obtendremos la situación geográfica estimada a la hora HRBf. Desde luego, y alternativamente, podemos hacer también lo mismo mediante el procedimiento analítico de la loxodrómica, sin tener que utilizar la carta náutica.

Nota: También podríamos hacer el cálculo tramo a tramo, pero si el número de medidas es muy grande (en grandes viajes), hacer un cálculo promediado es por simplicidad una buena opción. Si lo hiciesmos así, la diferencia sería muy pequeña; en efecto, $$d=3,6\cdot 45/60 + 4,2\cdot 60/60+ 2,5\cdot 70/60 \approx 9,8 \,\text{millas náuticas}$$

-oOo-

Observación importante: Ni que decir tiene que, si entre una medida y otra de la velocidad, vamos cambiando de rumbo, deberemos anotar esos cambios de rumbo para ir trazando en la carta náutica los puntos finales de los tramos (anotando la hora HRB de cada final de tramo); o si, lo preferimos, también podemos hacer los cálculos análiticos (estima loxodrómica), sin tener que emplear la carta náutica.

$\diamond$

Resumen de las fórmulas de Bessel para resolver triángulos esféricos generales

Consideramos un triángulo esférico general de vértices $A,B$ y $C$, cuyos ángulos interiores son $\alpha:=\measuredangle(CAB),\beta:=\measuredangle(ABC)$ y $\gamma:=\measuredangle(BCA)$; siendo los lados opuestos a cada vértice, $a,b$ y $c$, respectivamente. Nota: Es conveniente, para empezar, hacer un dibujo del triángulo esférico con esa notación normalizada.

Distinguimos cuatro grupos:

• El grupo I de Bessel (fórmulas de los cosenos) expresa la relación entre tres lados y un ángulo:
  1. $\cos(a)=\cos(b)\cdot \cos(c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$
  2. $\cos(b)=\cos(a)\cdot \cos(c)+\sin(a)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\beta)$
  3. $\cos(c)=\cos(a)\cdot \cos(b)+\sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma)$
• El grupo II de Bessel (fórmulas de los senos) expresa, en una triple igualdad, la relación entre los ángulos y sus lados opuestos:
  1. $\dfrac{\sin(a)}{\sin(\alpha)}=\dfrac{\sin(b)}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}$
• El grupo III de Bessel (fórmulas de las cotangentes) expresa la relación entre dos de los lados del triángulo, el ángulo comprendido entre éstos, y el ángulo opuesto a uno de ellos:
  1. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
  2. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(c)=\cos(c)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
  3. $\text{cotan}(b)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\beta)$
  4. $\text{cotan}(b)\cdot \sin(c)=\cos(b)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \text{cotan}(\beta)$
  5. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
  6. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
• El grupo IV de Bessel expresa la relación entre tres ángulos y un lado:
  1. $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a)$
  2. $\cos(\beta)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\alpha) \cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(b)$
  3. $\cos(\gamma)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c)$

Ejemplo: Para resolver el problema de la ortodrómica, eligiendo las fórmulas apropiadas y empleando las siguientes asignaciones de notación

• vértices: $A:=I$ (punto de partida), $B:=P_n$ polo norte terrestre, $C:=F$ (punto de llegada)
• situación de partida: $I(\ell_I,L_I)$
• situación de llegada: $F(\ell_F,L_F)$
• lados: $a:=90^\circ-\ell_F$, $c:=90^\circ-\ell_I$, $b:=D$ (distancia a navegar)
• ángulos internos del triángulo: $\beta:=\Delta\,L=|L_F-L_I|$ (diferencia en valor absoluto entre la longitud final y la inicial), $\alpha:=R_I$ (rumbo inicial), $\gamma:=$contrarrumbo final
• signos: N(+), S(-), W(-), E(+)

llegaremos a estas cuatro, que son muy útiles en la práctica:

1. $\cos(D)=\sin(\ell_I)\cdot \sin(\ell_F)+\cos(\ell_I)\cdot (\cos(\ell_F)\cdot \cos(\Delta\,L)$ (fórmulas del grupo II)
2. $R_I=\text{arccos}\left( \dfrac{\sin(\ell_F)-\sin(\ell_I)\cdot \cos(D)}{\sin(D)\cdot \cos(\ell_i)}\right)$, que podemos emplear para calcular el rumbo inicial, una vez hayamos calculado la distancia a navegar (fórmulas del grupo II)
3. Y, también, podemos calcularlo directamente (sin haber calculado antes $D$), mediante: $R_I=\text{arctan}\left( \dfrac{\sin(\Delta\,L)}{\tan(\ell_F)\cdot \cos(\ell_I)- \tan(\ell_I)\cdot \cos(\ell_I)\cdot \cos(\Delta\,L)} \right)$ (por las fórmulas del grupo III)
4. $R_F=180^\circ -\measuredangle (P_n\,F,I)$, donde $\measuredangle (P_n\,F,I)=\text{arcsin}\left( \sin(R_I)\cdot \dfrac{\cos(\ell_I)}{\cos(\ell_F)} \right)$, empleando las fórmulas del grupo II

-oOo- Ejemplo:
Vídeo 1/2 Vídeo 2/2 -oOo-

Referencias:
[1] C. de N. Moreu Curbera; C. de N. Martínez Jiménez, Astronomía y Navegación, Tomo I, pp. 7-14