Resumen de las fórmulas de Bessel para resolver triángulos esféricos generales

Consideramos un triángulo esférico general de vértices $A,B$ y $C$, cuyos ángulos interiores son $\alpha:=\measuredangle(CAB),\beta:=\measuredangle(ABC)$ y $\gamma:=\measuredangle(BCA)$; siendo los lados opuestos a cada vértice, $a,b$ y $c$, respectivamente. Nota: Es conveniente, para empezar, hacer un dibujo del triángulo esférico con esa notación normalizada.

Distinguimos cuatro grupos:

• El grupo I de Bessel (fórmulas de los cosenos) expresa la relación entre tres lados y un ángulo:
  1. $\cos(a)=\cos(b)\cdot \cos(c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$
  2. $\cos(b)=\cos(a)\cdot \cos(c)+\sin(a)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\beta)$
  3. $\cos(c)=\cos(a)\cdot \cos(b)+\sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma)$
• El grupo II de Bessel (fórmulas de los senos) expresa, en una triple igualdad, la relación entre los ángulos y sus lados opuestos:
  1. $\dfrac{\sin(a)}{\sin(\alpha)}=\dfrac{\sin(b)}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}$
• El grupo III de Bessel (fórmulas de las cotangentes) expresa la relación entre dos de los lados del triángulo, el ángulo comprendido entre éstos, y el ángulo opuesto a uno de ellos:
  1. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
  2. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
  3. $\text{cotan}(b)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\beta)$
  4. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
  5. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(c)=\cos(c)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
• El grupo IV de Bessel expresa la relación entre tres ángulos y un lado:
  1. $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a)$
  2. $\cos(\beta)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\alpha) \cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(b)$
  3. $\cos(\gamma)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c)$

Ejemplo: Para resolver el problema de la ortodrómica, eligiendo las fórmulas apropiadas y empleando las siguientes asignaciones de notación

• vértices: $A:=I$ (punto de partida), $B:=P_n$ polo norte terrestre, $C:=F$ (punto de llegada)
• situación de partida: $I(\ell_I,L_I)$
• situación de llegada: $F(\ell_F,L_F)$
• lados: $a:=90^\circ-\ell_F$, $c:=90^\circ-\ell_I$, $b:=D$ (distancia a navegar)
• ángulos internos del triángulo: $\beta:=\Delta\,L=|L_F-L_I|$ (diferencia en valor absoluto entre la longitud final y la inicial), $\alpha:=R_I$ (rumbo inicial), $\gamma:=$contrarrumbo final
• signos: N(+), S(-), W(-), E(+)

llegaremos a estas cuatro, que son muy útiles en la práctica:

1. $\cos(D)=\sin(\ell_I)\cdot \sin(\ell_F)+\cos(\ell_I)\cdot (\cos(\ell_F)\cdot \cos(\Delta\,L)$ (fórmulas del grupo II)
2. $R_I=\text{arccos}\left( \dfrac{\sin(\ell_F)-\sin(\ell_I)\cdot \cos(D)}{\sin(D)\cdot \cos(\ell_i)}\right)$, que podemos emplear para calcular el rumbo inicial, una vez hayamos calculado la distancia a navegar (fórmulas del grupo II)
3. Y, también, podemos calcularlo directamente (sin haber calculado antes $D$), mediante: $R_I=\text{arctan}\left( \dfrac{\sin(\Delta\,L)}{\tan(\ell_F)\cdot \cos(\ell_I)- \tan(\ell_I)\cdot \cos(\ell_I)\cdot \cos(\Delta\,L)} \right)$ (por las fórmulas del grupo III)
4. $R_F=180^\circ -\measuredangle (P_n\,F,I)$, donde $\measuredangle (P_n\,F,I)=\text{arcsin}\left( \sin(R_I)\cdot \dfrac{\cos(\ell_I)}{\cos(\ell_F)} \right)$, empleando las fórmulas del grupo II

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Vídeo 1/2 Vídeo 2/2 -oOo-

Referencias:
[1] C. de N. Moreu Curbera; C. de N. Martínez Jiménez, Astronomía y Navegación, Tomo I, pp. 7-14