Considérese un hilo puesto sobre un meridiano ...

La derrota ortodròmica

Considerant la superfície de la Terra com una esfera (superfície esfèrica) ens introduïrem, ara, en el món de les geometries no euclidianes, resolent el següent problema pràctic de geometria esfèrica: Problema: Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera). Resoldrem aquest problema al final de l'escrit i exposarem un exemple concret. Per això, primer de tot, cal que exposem algunes nocions essencials i els conceptes bàsics de la geometria esfèrica. Tot seguit, justificarem unes fórmules trigonomètriques vàlides per als triangles esfèrics (no ens estendrem a parlar d'altres que no necessitarem aquí): les igualtats de Bessel (grup I), les quals justificarem a partir de les relacions elementals de la trigonometria plana (Figura 2). Aquestes igualtats ens permetran arribar a la solució del problema pràctic plantejat al començament.

GEOMETRIES NO EUCLIDIANES

Una geometria és no euclidiana si aquesta es pot desenvolupar de manera consistent, a partir de la negació d'algun dels cinc postulats d'Euclides; en aquest cas (el de la geometria el·líptica i, en particular, de la g. esfèrica) - entre altres - es nega el cinquè postulat d'Euclides: (...) per un punt exterior a una "recta" hi passa una única "recta" paral·lela a la donada. , afirmant que: "No hi ha cap recta paral·lela a la donada que passi per un punt exterior a una "recta" donada (geometria el·líptica [Riemann]). Abans de continuar amb aquesta introducció, cal fer precisió sobre el concepte de "recta" (per això ho podem llegir, aquí, entre cometes): cal entendre per "recta" en una superfície donada (no necessàriament plana - euclidiana -) la corba de longitud mínima que uneix dos punts de la superfície; aquesta corba s'anomena geodèsica i, de seguida, en parlarem amb més detall. Un altre tipus de geometria no euclidiana n'és la geometria hiperbòlica [Bolyai (1775-1855), Lobachevsky (1792-1856), Gauss (1777-1855)] que nega el cinquè postulat, afirmant que hi ha, no una sola, ans infinites "rectes" paral·leles que passen per un punt exterior a la "recta" donada.

GEOMETRIA DE LA SUPERFÍCIE ESFÈRICA:

Hem vist que la geometria de la superfície d'una esfera és un cas concret de geometria no euclidiana; és un cas particular de geometria el·líptica [un cas particular de g. de Riemann (1826-1866)] que, en particular, en el cas de l'esfera, s'anomena geometria esfèrica.

En una esfera, anomenem cercle màxim a la secció que s'obté en intersectar un que passi pel centre de l'esfera amb la superfície d'aquesta. Un triangle esfèric és, doncs, la intersecció de tres circumferències corresponents als respectius cercles màxims. Considerarem un triangle esfèric, com ara el triangle $ABC$ (Figura 1). Els punts $A$, $B$ i $C$ s'anomenen vèrtexs del triangle esfèric, i els costats $a$, $b$ i $c$ són els costats del mateix que, donat que representen arcs de circumferència, els podem mesurar donant la magnitud del seu angle central. Per altra banda, els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ corresponen als angles que formen els plans que tallen l'esfera i passen pel seu centre: $\alpha \equiv \angle (OAC, OAB)$ $\beta \equiv \angle (OBC, OAB)$ $\gamma \equiv \angle (OAC, OBC)$

Figura 1

Els costats d'aquest triangle (esfèric) són arcs de cercles màxims. Una propietat elemental a remarcar és la que fa referència a la suma dels angles d'un triangle esfèric: $\alpha + \beta + \gamma \ge 180º$, un símptoma clar que aquesta geometria ja no és la euclidiana. Donada una superfície, anomenem geodèsica a la corba que uneix dos punts de la mateixa pel camí més curt possible. En una esfera, aquesta corba és el contorn del cercle màxim (circumferència) que passa per tots dos punts.

LES FÓRMULES DE BESSEL (GRUP I) SOBRE ELS TRIANGLES ESFÈRICS

Analitzant acuradament el triangle esfèric de la Figura 2 deduirem un conjunt de tres fórmules que expressen una relació entre els costats del triangle ($a$, $b$ i $c$) i els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$) i que ens permetran resoldre el problema plantejat al començament de l'escrit. Val a dir que aquestes tres igualtats [grup I de Bessel (Friedrich Bessel, 1784-1846] no són pas les úniques relacions que es poden deduir; aquí - per tal de no estendre'ns en excés - tan sols farem ús de les que necessitem.

Observem (Figura 2) que $\overline{OT}=\overline{OM}+\overline{MT} \quad \quad (1)$

Figura 2

Representació del triangle esfèric ABC. El sistema de referència, format per l'origen de coordenades $O$ (situat al centre de l'esfera) i els eixos perpendiculars $Ox$, $Oy$ i $Oz$, configura el triedre de plans perpendiculars Oxy, Oxz i Oyz. Hem girat convenientment el sistema de referència per tal que - no hi ha pèrdua de validesa en això - un dels vèrtexs del triangle esfèric es trobi damunt d'un dels tres eixos (en el cas de la figura, el vèrtex $C$ es troba damunt l'eix Oy) i un dels costats del triangle es trobi damunt d'un dels plans (en el cas de la figura, el costat $a$ es troba damunt del pla Oxy.

Tenint en compte els triangles rectangles plans $\triangle{OMR}$ i $\triangle{RNS}$ podem escriure les raons trigonomètriques de l'angle $a$ $\cos{a}=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OR}}$ i $\sin{a}=\dfrac{\overline{MT}}{\overline{RS}}$ substiuint aquestes expressions a (1) trobem $\overline{OT}=\overline{OR}\cdot \cos{a}+\overline{RS}\cdot \sin{a} \quad \quad (1')$ per altra banda, dels triangles $\triangle{OTA}$, $\triangle{ORA}$ i $\triangle{RSA}$, podem escriure $\cos{b}=\dfrac{\overline{OT}}{\overline{OA}}$ $\cos{c}=\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OA}}$ $\sin{c}=\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RO}}$ i $\cos{\beta}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{RA}}$ on $\beta$ designa l'angle $\angle(SRA)$ llavors, la igualtat (1') es pot escriure de la forma $\overline{OA} \cdot \cos{(b)}=\overline{OA} \cdot \cos{(c)}\,\cos{(a)}+\overline{OA} \cdot \sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)}$ i, simplificant, arribem a una de les tres igualtats de la trigonometria esfèrica grup I de Bessel que es coneix com a grup I de Bessel: $\cos{(b)}=\cos{(c)}\,\cos{(a)}+\sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)} \quad \quad (I1)$ Si permutem els costats (i angles) de la fórmula, podem escriure dues relacions més $\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)} \quad \quad (I2)$ $\cos{(c)}=\cos{(a)}\,\cos{(b)}+\sin{(a)}\,\sin{(b)}\,\cos{(\gamma)} \quad \quad (I3)$

CÀLCUL DE LA LONGITUD DE L'ARC DE GEODÈSICA DAMUNT D'UNA ESFERA

Quan ens referim a la superfície de la Terra, es coneix també com a problema del càlcul de la longitud de l'ortodròmica (Navegació) al problema que, ara, resoldrem fent ús del que s'ha dit anteriorment. Recordem l'enunciat del problema plantejat al començament de l'escrit: Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera). Entendrem que, aquí, en aquest problema, els vèrtexs del triangle esfèric (figures 1 i 2) tenen els següent significat:     Fem coincidir $A$ amb el Pol Nord geogràfic     El vèrtex $B$ correspon al punt de la trajectòria ortodròmica $P_{1}(l_1,L_1)$ (un dels extrems de la geodèsica)     El vèrtex $C$ correspon al punt $P_{2}(l_2,L_2)$ (l'altre extrem de la geodèsica)     El costat $a$ representa representa la longitud del camí entre els dos extrems de la geodèsica (distància mínima entre tots dos punts) que anomenarem $s$ (longitud de l'ortodròmica entre aquest dos punts). El valor de la magnitud de $s$ entre els dos punts $P_1$ I $P_2$, la trobarem, primer, expressada en unitats angulars, per bé que, al final, la convertirem a unitats de longitud, tenint en compte l'equivalència entre les untitats angulars d'arc de circumferència de cercle màxim - és a dir, de meridià (geodèsica de la superfície d'una esfera) - i les unitats de longitud d'arc. Llavors, partint de la igualtat (I2) $\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)}$ i tenint en compte el significat concret dels elements del triangle que acabem d'explicar quan el vèrtex $A$ el fem coincidir amb el Pol Nord cal escriure: $b=90º-l_1$ i, per tant, $\cos{(b)}=\sin{(l_1)}$   i   $\sin{(b)}=\cos{(l_1)}$ $c=90º-l_2$ i, per tant, $\cos{(c)}=\sin{(l_2)}$   i   $\sin{(c)}=\cos{(l_2)}$ Per altra banda, $\alpha$ representa la diferència de longituds entre els dos extrems del camí $P_1$ i $P_2$ és a dir $\alpha=\left|L_1-L_2\right|$, que anomenarem $\Delta \, L$ A partir de tot això ja tenim el càlcul a punt: $\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$ Tindrem en compte que el valor de la latitud d'un punt sobre la superfície de l'esfera és positiu si el punt es troba a l'hemisferi Nord; i negatiu, si es troba a l'hemisferi Sud. No cal dir que la coordenada de longitud (el valor de $L$) cal donar-les també amb el signe corresponent (positiva si es troba a l'Est del meridià zero, i negativa si es troba a l'Oest d'aquest meridià de referència). Per acabar, i anomenant $k$ al valor del segon membre de la igualtat anterior [ $\cos{s}=k$ ($-1 \le k \le 1$ ] trobarem el valor de $s$ fent ús de la recíproca de la funció cosinus: $s = \arccos{k}$ (prenent valors entre 0º i 360º) Per calcular la longitud d'arc de cercle màxim entre dos punts (del camí sobre la geodèsica) en unitats de longitud, tindrem en compte que $1'$ d'arc de meridià terrestre [ la longitud d'un meridià és igual a la de la circumferència d'un cercle màxim ] equival a $1 \, \text{milla \, nàutica}$   ( $1 \, \text{milla \, nàutica} \approx 1\,852 \, m$ ).

EXEMPLE:

Enunciat: Determineu la distància sobre la geodèsica $s$ entre els punts: $P_1$, de coordenades $l_1=-5º \, \text{S}$, $L_2=40º \, \text{E}$ i $P_2$, de coordenades $l_1=45º \, \text{N}$, $L_2=60º \, \text{W}$ Resolució: Tenint en compte que $\Delta L = |40º-(60º)|= 100º$ així com les dades de les latituds, la fórmula de Bessel $\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$ ens dóna el següent valor $\cos{(s)}=\sin{(-5º)}\,\sin{(45º)}+\cos{(-5º)}\,\cos{(45º)}\,\cos{(100º)}$ és a dir $\cos{(s)}\approx -0,1839$ per tant $s = \arccos{(-0,1839)} \approx 100,5999º$ i convertint a minuts d'arc de meridià (de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) multiplicant per $60$ (minuts que té cada grau) trobem $s \approx 6036 \,'$ i com que $1'$ d'arc de meridià (i, en general, de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) equival a $1 \, \text{milla nàutica}$ el camí entre els dos punts té una longitud de $6036 \, \text{milles \, nàutiques}$ Si ho volem expressar en quilòmetres, cal recordar que $1' \, \text{(d'arc de meridià)} = 1 \, \text{milla nàutica} \approx 1\,852 \, \text{m} $ per tant $s \approx 11\,179 \, \text{km}$ $\square$

Determinación de la latitud del observador a partir de la altura del Sol a su paso por el meridiano superior (del observador)

Preparació de l'observació A partir de la situació estimada, disposats a observar el Sol al seu pas pel meridià del lloc, ens cal conèixer l'hora del rellotge de bitàcola a la qual tindrà lloc l'esdeveniment. Per això, entrarem a l'Almanac de l'any i consultem a quina hora passa el Sol pel meridià de Greenwich (hora en aquest meridià); això ve resenyant a l'Almanac amb les sigles PMG ("pas pel meridià de Greenwich"). Tindrem ben present que aquest hora és l'hora civil del meridià de Greenwich en el moment del pas del Sol pel meridià superior de Greenwich. Comencem, doncs, calculant (1) l'HcG (TU) del pas del Sol pel nostre meridià (meridià de l'observador) a partir del PMG: HcG p.s.m.s.l = PMG + L/15; on L/15 es la longitud de la posició de l'observador expressada en temps; y (2), tot seguit, ens cal calcular l'hora legal o hora del rellotge de bitàcola Hz de l'observador en el moment del pas del Sol pel seu meridià. Per això, ens cal conèixer el número de fus horari Z, el qual calculem a partir de la longitud estimada, Z és igual al major enter més proper a la quantitat $(L-7,5)/15$ amb el signe que correspongui (positiu si ens trobem a l'Est del meridià de Greenwich, i negatiu en cas contrari); llavors, Hz p.s.m.s.l = HcG p.s.m.s.l + Z. I, així, ens podem preparar, amb temps suficient, per estar a punt per fer les mesures d'observació del Sol en el moment de la seva culminació al seu pas pel meridià del lloc. Determinació de la latitud del lloc Per determinar la latitud, en aquest cas, ens estem referint a l'observació del Sol, però notem que el procediment de càlcul és el mateix que cal fer servir a l'hora d'observar el pas pel meridià del lloc de qualsevol astre. En general, podrem observar l'astre passant pel meridià superior (angle horari local de l'astre igual a zero), o bé, passant pel meridià inferior (angle horari local de l'astre igual a $180^\circ$). En punts d'observació de latituds no molt elevades, el Sol sempre culmina passant pel meridià superior (angle horari local de Sol igual a zero). Segons l'època de l'any, al seu pas pel meridià del lloc de l'observador, el Sol demora al Nord (des de l'equinocci de primavera a l'equinocci de tardor) éssent la declinació del Sol positiva, o bé al Sud de l'observador (des de l'equinocci de tardor a l'equinocci de primavera), éssent la declinació del Sol igual a zero en els momentos dels equinoccis. Segons l'època de l'any, observarem, doncs, el Sol en la seva culminació, cara al Nord, o bé cara al Sud, i per tant caldrà tenir-ho en consideració a l'hora de resoldre aquest problema de la determinació de la latitud. Tot això queda ben clar si ens entretenim a traçar un esquema gràfic on aparegui l'equador celest, l'horitzó de l'observador, el Sol/astre i el Zenit. Fent la suma d'angles amb la figura al davant quedarà clar que la latitud l ha de ser igual a $d + z$ si el Sol demora al Sud ($l=d+z$), i a $d -z$ ($l=d-z$) si aquest demora al Nord, on $z$ és la colatitud ($z:=90^\circ-a$) i $a$ és l'altura vertadera del Sol en la seva culminació, que obtenim a partir de l'altura observada amb el sextant, fent les correccions pertinents. No cal dir que la declinació $d$ del Sol la treuerem de l'Almanac Nàutic, entrant amb l'hora i la data.

Els patrons de temps astrònomic en la navegació

Els patrons de temps astronòmic Per temps sideral (temps "de les estrelles") entenem l'interval de temps entre dos passos successius d'un estel pel meridià local i, en particular, anomenem temps sideri a la mesura del temps basada en el patró de temps que es defineix com l'interval entre dos passos successius del punt Àries per un mateix meridià (dia sideri).  Per altra banda, en l'activitat quotidiana, el patró de temps més natural és el basat en el temps solar vertader o temps sinòdic que, tot ser més apropiat per estar basat en els intervals de llum i foscor (dia i nit) en el lloc de la Terra on ens trobem és, per contra, menys regular que el temps sideral.  Aquesta irregularitat del patró de Sol vertader es deguda a dues causes: d'una banda, com que l'òrbita de la Terra no és una circumferència sinó una el·lipse i, per tant, la seva velocitat no és la mateixa en tots els punts de l'òrbita, el moviment aparent del Sol que recorre l'eclíptica tampoc es produeix a velocitat constant; per altra banda, atenent que el moviment aparent del Sol no segueix l'equador celeste (sinó l'eclíptica), l'angle horari del Sol, és a dir, el temps mesurat mitjançant la variació d'aquesta quantitat, no varia a un ritme constant. És per això que el patró amb què s'efectuen els càlculs d'astronomia de posició a la Terra no és, doncs, el patró de Sol vertader - irregular de mena, com ja s'ha explicat -, ans el patró anomenat Sol mitjà, el qual és refereix a un Sol imaginari que es mogués sempre sobre l'equador celeste a una velocitat constant (la variació de l'angle horari d'aquest sol imaginari sobre l'equador és constant) i té - per natural requeriment - el mateix període que el del Sol vertader.   Aquest patró de Sol mitjà és el del dia solar mitjà: l'interval de temps entre dos passos successius del Sol mitjà per un mateix meridià, un patró de prou regular que, en particular, anomenem de temps universal (TU) si, per conveni, mesurem el temps situats en el meridià del Royal Observatory de Greenwich (GB). La diferència entre el temps del Sol vertader i el temps del Sol mitjà és igual a l'equació del temps, quantitat que es pot trobar en els anuaris astronòmics i que, per exemple, cal consultar necessàriament si volem construir i ubicar un rellotge de Sol. créditos: J.R. Losada, CC BY-SA  El temps sideral, no coincideix exactament amb el temps sideri, i molt menys, és clar, amb el temps universal (TU). La raó d'aquest escrit, de fet, és reflexionar sobre el perquè el pas d'una estació a l'altra no es regular i, per tant, parlar concretament sobre el temps sideri, el patró de temps relacionat amb el moviment aparent/relatiu del punt Àries a l'esfera celeste.  Com explicarem a continuació, en navegació, el problema del temps està relacionat íntimament amb el problema de la determinació de la longitud: poder mesurar el temps astronòmic referit a un lloc convingut en una posició determinada permet deduir-ne la seva longitud. La determinació de la latitud no va presentar mai tantes dificultats com el de determinar la longitud. Abans que John Harrison aportés una solució pràctica i prou precisa que passava per dur a bord un cronòmetre fiable i precís amb l'hora del meridià de referència, hom intentà resoldre el problema de trobar la longitud [mesurar el temps astronòmic referit a un meridià de referència] fent observacions astronòmiques - difícils en navegació -, concretament, mesurant distància entre la Lluna i alguna estrella o planeta. John Harrison, gravat (Royal Observatory) de l'artista Peter Joseph Tassaert, datat el 1768, i extret, probablement, del retrat preliminar pintant a l'oli per Thomas King Però, tal i com ja hem avançat, per als navegants, el problema de determinar la longitud d'un punt de la Terra desconegut on es trobessin - d'enorme importància pel que fa a la seguretat - no va ser resolt d'una forma eficaç fins que John Harrison, fuster i rellotger, d'una excepcional habilitat i inventiva per a la la mecànica, va construir i posar a punt el primer cronòmetre marí fiable el 1759. John Harrison va inventar i construir quatre cronòmetres marins (des de l'any 1714 fins el 1759) ; els darrers, amb l'ajut del seu fill William Harrison.  Eren instruments precisos, robustos i fiables. La seva maquinària no requeria lubricació i en la seves peces es feia ús d'una combinació de metalls que compensava les dilatacions i contraccions degudes als canvis de temperatura [làmines bimetàliques (de llautó i acer) d'efectes contraposats], a la vegada que emprava determinades fustes resinoses per a algunes peces de transmissió de la maquinària que permetien prescindir de la delicada operació de greixar la delicada maquinària, amb tots els inconvenients que això havia comportat amb anterioritat.  Per altra banda el sistema per emmagatzemar l'energia mecànica i el sistema de peces basculants permetia confiar amb el cronòmetre en situacions de mala mar, amb molt de moviment. El cronòmetre més pesant de la sèrie feia gairebé 40 kg, i el més lleuger, poc més d'un quilogram. Amb la seva contribució es va fer mereixedor del premi que el rei Carles II havia ofert a qui resolgués d'una manera pràctica i precisa el problema de la determinació de la longitud (o l'hora del meridià de referència) en navegació, Harrison fou recompensat amb aquest premi l'any 1773. Els tres primers similars en concepció: l'H1 (el més gran i pesant), l'H2, l'H3 i, finalment, el quart i últim, l'H4, molt més petit i lleuger que els altres tres però igualment fiable. L'H4 tenia un decímetre de diàmetre, aproximadament, anava muntat sobre uns balancins i disposava d'una molla bimètalica que li proporcionava l'energia elàstica necessària per mantenir-lo en funcionament.  Amb l'H4 es va fer la primera prova en navegació oceànica el 1762, en un viatge entre Anglaterra i Jamaica (Carib). D'acord amb les anotacions del viatge, l'error acumulat va ser tan sols de 5 segons, la qual cosa suposava un error de navegació en longitud de 1.25 minuts d'arc de meridià. I, quan al punt de recalada, un cercle d'error de 30 milles nàutiques de radi. Fou tot un èxit. James Cooke emprà també amb gran èxit un cronòmetre construït per Larcum Kendall, el K1 (una còpia de l'H4 de Harrison), en el seu segon viatge en el HMS Resolution que, després de tres anys d'haver començat, finalitzà el 1776.   Després de molts anys de patir una competència molt agressiva i no exempta de joc brut per part d'alguns personatges clau, defensors mètode rival (el de les distàncies lunars) i que ocupaven llocs clau en la presa de decisions en aquests afers, John Harrison, amb l'ajut del seu fill William, va poder acreditar ser mereixedor, amb tota justicia, del premi que havia establert la corona britànica per a la solució del problema de la longitud.   Fins a final de segle XIX i malgrat disposar ja de cronòmetres marins - apareguts de la mà de John Harrison i els seus successors -, els pilots i capitans continuaven confiant molt en el mètode de les distàncies lunars, sobre tot, perquè en aquells temps encara no hi havia cap sistema per sincronitzar de forma remota els cronòmetres - com es fa actualment amb els senyals horaris de radio -; en aquell temps, l'única manera de fer-ho consistia a calcular l'hora TU vertadera a partir de tres lectures de cronòmetre i una distància lunar - a més a més de poder obtenir també la longitud de l'observació, per descomptat - podent posar així a hora el cronòmetre (determinar-ne l'estat absolut en termes de navegació). Per això, calia una bona preparació en navegació astronòmica per part de pilots i capitans i, no cal dir-ho, efectuar unes mesures prou precises, tant de la distància entre la Lluna i un altre astre, sobre el cercle màxim de l'esfera celeste que els uneix, així com de les altures: de la Lluna i de l'astre.  Recordem que el mètode de les distàncies lunars permet obtenir l'hora TU amb una precisió màxima de 2 min. Per determinar la longitud per observació dels astres calia fer ús d'instruments adequats: els octants i sextants, i per a les observacions en terra, altres de més precisos, com ara el cercle de reflexió o cercle de Borda, ja que amb els sextants i octants no s'obtenia tan bon resultat. Recordem que, per contra, l'obtenció de la latitud ja feia segles que s'havia resolt satisfactòriment a partir, és clar, d'observacions astronòmiques. La simplicitat, la precisió i eficàcia de tenir a bord un rellotge, adaptat a la navegació, que donés l'hora del meridià de referència, reproduint el pas del temps sense problemes mecànics i per tant amb la regularitat i precisió necessàries, acabà imposant-se.  Els rellotges, que s'havien fet servir amb anterioritat a l'H1 s'endarrerien o s'avançaven, degut a la dilatació i la contracció tèrmica, la corrosió de les seves peces, les quals, a més, també requerien lubricació. Quant al meridià de referència, val a dir que no era pas el mateix a tot el Món. En particular, els britànics – des de l'any 1765 – l'establiren de tal manera que aquest correspongués a la longitud de l'observatori de Greenwich, a Londres (Royal Observatory). Els espanyols empraven llavors els seu propis meridià de referència, el que passava per Real Observatorio en San Fernando, Cadiz, fundat per l'astrònom Jorge Juan el 1753. Els francesos també tenien el seu propi meridià de referència. No va ser fins l'u de gener de 1885 que el meridià de Greenwich fou el de referència internacional, fruit de l'acord de els països. L'objectiu de la institució era publicar periòdicament les efemèrides i dades astronòmiques referents als planetes, el Sol i la Lluna, així com les dels estels visibles (almanacs) per tal de fer possibles els càlculs de Navegació Astronòmica necessaris per situar-se en el mar. En aquell moment, els cronòmetres marins eren molt cars. No pas tots els capitans i oficials de derrota es podien permetre tenir-ne un o dos (a bord hom en duia més d'un, per tal de fer les correccions necessàries) i és per això que el mètode dit de les distàncies lunars fou emprat alternativament a la simple lectura del cronòmetre. No obstant això, l'ús del cronòmetre acabà imposant-se donats els seus avantatges en relació als mètodes d'observació directa basats en distàncies entre astres, i posteriors càlculs els quals, per cert, no eren pas senzills, considerant, a més, que en aquells temps que no existien les calculadores o els ordinadors, per bé que hom tenia, això sí, l'ajut de taules trigonomètriques i de logaritmes, així com d'altres específiques per a la navegació.  El quart cronòmetre de Harrison, fou posat a prova el 1762, en la travessia de l'Atlàntic. El viatge va durar tres mesos i tan sols es va observar un endarreriment de 5 segons. Després de sis mesos, havent tornat el vaixell al port d'origen, l'error entre la partida i la tornada fou de dos minuts. Robert Cook, va fer servir els cronòmetres des del seu primer viatge (1768-1771) de prospecció topogràfica i de descobriment. Definitivament, la solució del cronòmetre marí, inventat per John Harrison, s'havia imposat sobre el mètode de les distàncies entre astres (el de les distàncies lunars, com a competidor, en concret).  Com és ben sabut, disposar del temps en el meridià de referència, el temps TU amb la precisió més gran que sigui possible és fonamental per treballar amb rectes i cercles d'altura. El mètode de situació per intersecció de rectes d'altura, a partir de les altures dels astres, l'hora TU i una posició estimada que s'ensenya a les escoles de nàutica es deu al Capità Thomas Hubbard Sumner, el qual publicà l'any 1843 en un treball titulat A New and Accurate Method of Finding a Ship’s Position at Sea. És interessant comentar també que trobar la intersecció dels cercles d'altura, directament, permet prescindir de la situació estimada per determinar la situació vertadera, per bé que els càlculs de trigonometria esfèrica es compliquen una mica, no poden escapar-nos-en mitjançant mètodes gràfics aproximats. Actualment, però, amb l'ús d'una simple calculadora programable es perfectament viable i precís. $\square$

Determinación de la hora del paso del Sol por el meridiano superior del lugar

ENUNCIADO. Situados en el Port de Torredembarra ( $L=001^{\circ}\, 24^{'}\,\text{E}$ ) el día 13 de marzo de 2017, ¿A qué hora ( oficial ) pasará el Sol por el meridiano superior del lugar?

SOLUCIÓN.
Consultando la página 78 del Almanaque Náutico del año en curso, vemos que el Sol pasa por el meridiano superior de Greenwich ( meridiano cero ) a las $\text{PMG}_{\text{Sol}}=12:10,2$ ( TU ). Como el observador se sitúa al Este de dicho meridiano cero, y teniendo en cuenta que el movimiento aparente del Sol va de Este a Oeste, éste habrá pasado por el meridiano superior del observador antes que por el meridiano superior de Greenwich.

Vamos a calcular ahora esta diferencia de tiempo, $\Delta\,t$, que -- por lo dicho arriba -- deberemos restar a la hora $\text{PMG}_{\text{Sol}}=12:10,2=12:10:12$ ( TU ), haciendo una simple proporción. Como la Tierra da una vuelta completa sobre su eje de giro en $24$ horas, esto es, gira $15^{\circ}$ cada hora, entonces $$\dfrac{\Delta\,t}{001^{\circ}\, 24^{'}}=\dfrac{1}{15^\circ}$$ lo que nos da $\Delta\,t=5,6\;\text{minutos}$ esto es $$\Delta\,t=00:05:36$$ Por consiguiente, la hora del paso del Sol por el meridiano superior del observador situado en el Port de Torredembarra es igual a $2:10:12-00:05:36=12:04:36$ (TU ).

Ahora bien, como se nos pide la hora oficial, a la hora (TU) calculada hay que sumarle el número de huso ( que es $Z=0$ ) y el adelanto vigente en invierno ( que es de $1$ hora ). Por tanto la hora oficial del paso del Sol por el meridiano superior del Port de Torredembarra el día 13/03/2017 es $12:04:36+01:00:00=13:04:36$ ( HO ). $\square$

Cuidado. Llevamos rumbo de colisión ...

En navegación, a la vista de otra embarcación cuya derrota no sea paralela a la de nuestro barco y apunte al mismo cuadrante que nuestro rumbo, habrá que vigilar la su demora de manera regular ( sin haber cambiado nuestro rumbo ), pues en el caso de que dicha demora sea constante, es señal inequívoca que que, si no hacemos nada, vamos a rumbo de colisión.

Fresc d'un noi amb llampugues, a Acrotiri ( o Santorini )

Fuente de la imagen: https://commons.wikimedia.org

Acrotiri: "Jove amb orades" ( llampugues )