Imagen evocadora ( SV Sobrevent ). Cuánto más, en los tiempos de confinamiento que padecemos

La paralaje como recurso en navegación

La paralaje es un método astronómico básico empleado desde la antigüedad para medir distancias entre astros/planetas. Y, por supuesto, también se puede utilizar en navegación, en la mar o en tierra, para hacer cálculos de medidas indirectas de objetos a partir de una distancia conocida y ángulos que podemos tomar con el sextante o bien con el compás de demoras, siempre y cuando, claro está, que el objeto observado esté lo suficientemente alejado del observador para que la aproximación del lado por la longitud de arco sea aceptable. El método de paralaje se basa en conceptos sencillos de geometría y proporcionalidad. Si queréis documentaros un poco más sobre la paralaje, os sugiero una lectura en este artículo de Wikipedia: [ http://es.wikipedia.org/wiki/Paralaje ] Como aplicación práctica en navegación, si podemos medir ángulos (con compás de demoras) y disponemos, como dato, de alguna distancia conocida de partida, en principio también podemos medir la velocidad del observador en movimiento rectilíneo - de forma indirecta - ya que, conociendo el ritmo de variación del ángulo de paralaje en un corto intervalo de tiempo y teniendo información sobre el rumbo, solo queda por hacer un simple cálculo de proporcionalidad. Seria interesante comparar los resultados con los de la lectura de un radar, por ejemplo. Aunque, sin duda, obtengamos algo un poco tosco, sin mucha precisión, me parece interesante.

Día solar medio

Los días no tienen una duración constante, pues su duración depende de la época del año; ello es debido a la excentricidad de la órbita de la Tierra, así como a la inclinación de la eclíptica con respecto al plano del ecuador. Por ello, y a efectos de uso cotidiano, se toma el llamado día solar medio con una duración de 24 horas ( 86400 segundos ).

Distancia al horizonte

Maria passeja per la platja, s'atura i contempla la mar (la seva altura és de 1,65 m). És l'hora foscant. No veu cap embarcació a la llunyania, només el blau del mar i la fina línia de l'horitzó a la llum de l'ocàs; però, tot d'una, es comença a veure un dels llums de navegació de l'extrem del pal d'un veler (suposem que l'altura del pal és de 10 m). Quina distància hi ha entre el veler i Maria ? Distància a l'horitzó: Primer de tot, cal saber calcular la distància a l'horitzó d'un observador. Per això podem imaginar una petita boia amb un llum (la seva altura és negligible), siutuada just en el punt més enllà del qual (a més distància de la platja) ja no es pot veure (des de la platja) degut a la curvatura de la Terra. Posem que a és l'altura d'un observador. Com es pot veure a la figura (la circumferència representa la circumferència meridiana, E el punt de l'horitzó de l'observador E), per fer un càlcul aproximat de la distància a l'horitzó s és possible fer ús del teorema de Pitàgores, en el benentès que l'altura a la qual observem sigui moderada (no pensem en un observador que viatja en un avió a gran altitud, sinó en un observador situat a prop la superfície de la Terra), en el sentit que la distància a l'horitzó s pugui ser aproximada per la longitud DE del quadrat de color verd. Observeu la configuració del teorema de Pitàgores: els quadrats (de colors marró, verd, i rosa) damunt dels respectius costats del triangle rectangle AED. Naturalment es compleix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa $R+a$ cal que sigui igual a la suma de les àrees dels altres dos quadrats, bastits damunt els respectius catets; per tant, l'àrea del quadrat de color verd és igual a $(r+A)^2-r^2$, que és igual a $2rA$. Llavors, la longitud del costat d'aquest quadrat pren el valor i és igual, aproximadament a la distància a l'horitzó $s \approx \sqrt{2Rr}$. Prenent el radi de la Terra igual, aproximadament, a $3670\,\text{km}$, podem escriure la següent expressió aproximada (fàcil de recordar) per poder fer càlculs aproximats, quan fem observacions "de camp": $s \approx \sqrt{13\,a}$, entrant $a$ en metres, obtenim la distància a l'horitzó en quilòmetres. I, de gran interès per als navegants: si es vol donar en milles nàutiques (NM), cal recordar que $1\,\text{NM} \approx 1852\,\text{m}=1,852\,\text{km}$. Ara que ja sabem calcular la distància a l'horitzó d'un observador, podrem calcular la distància entre dos observadors; seguint l'exemple, un d'ells és la Maria (situada a la platja, dreta) i el segon observador l'imaginarem posat a l'extrem del pal del veler (mirant vers la posició de la Maria). Fem-ho: Distància entre el veler i la Maria: En el cas concret que hem plantejat, cal sumar la distància a l'horitzó de la Maria i la distància a l'horitzó d'un observador que estigués situat a l'extrem del pal (observant en direcció a la platja, on es troba la Maria): Sumant les distàncies a l'hortizó respectives, $s=s_1+s_2$, trobem que la distància aproximada entre el veler i la Maria és igual a $(\sqrt{13\cdot 10} + \sqrt{13\cdot 1,65})/1,852$, i, aproximant al primer digit decimal: $s \approx 8,7 \, \text{NM}$ Referències: ROJO, A.   La física en la vida cotidiana. RBA Libros, 2010 JOUETTE, A.   El secreto de los números. Robinbook, 2000

Considérese un hilo puesto sobre un meridiano ...

La derrota ortodròmica

Considerant la superfície de la Terra com una esfera (superfície esfèrica) ens introduïrem, ara, en el món de les geometries no euclidianes, resolent el següent problema pràctic de geometria esfèrica: Problema: Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera). Resoldrem aquest problema al final de l'escrit i exposarem un exemple concret. Per això, primer de tot, cal que exposem algunes nocions essencials i els conceptes bàsics de la geometria esfèrica. Tot seguit, justificarem unes fórmules trigonomètriques vàlides per als triangles esfèrics (no ens estendrem a parlar d'altres que no necessitarem aquí): les igualtats de Bessel (grup I), les quals justificarem a partir de les relacions elementals de la trigonometria plana (Figura 2). Aquestes igualtats ens permetran arribar a la solució del problema pràctic plantejat al començament.

GEOMETRIES NO EUCLIDIANES

Una geometria és no euclidiana si aquesta es pot desenvolupar de manera consistent, a partir de la negació d'algun dels cinc postulats d'Euclides; en aquest cas (el de la geometria el·líptica i, en particular, de la g. esfèrica) - entre altres - es nega el cinquè postulat d'Euclides: (...) per un punt exterior a una "recta" hi passa una única "recta" paral·lela a la donada. , afirmant que: "No hi ha cap recta paral·lela a la donada que passi per un punt exterior a una "recta" donada (geometria el·líptica [Riemann]). Abans de continuar amb aquesta introducció, cal fer precisió sobre el concepte de "recta" (per això ho podem llegir, aquí, entre cometes): cal entendre per "recta" en una superfície donada (no necessàriament plana - euclidiana -) la corba de longitud mínima que uneix dos punts de la superfície; aquesta corba s'anomena geodèsica i, de seguida, en parlarem amb més detall. Un altre tipus de geometria no euclidiana n'és la geometria hiperbòlica [Bolyai (1775-1855), Lobachevsky (1792-1856), Gauss (1777-1855)] que nega el cinquè postulat, afirmant que hi ha, no una sola, ans infinites "rectes" paral·leles que passen per un punt exterior a la "recta" donada.

GEOMETRIA DE LA SUPERFÍCIE ESFÈRICA:

Hem vist que la geometria de la superfície d'una esfera és un cas concret de geometria no euclidiana; és un cas particular de geometria el·líptica [un cas particular de g. de Riemann (1826-1866)] que, en particular, en el cas de l'esfera, s'anomena geometria esfèrica.

En una esfera, anomenem cercle màxim a la secció que s'obté en intersectar un que passi pel centre de l'esfera amb la superfície d'aquesta. Un triangle esfèric és, doncs, la intersecció de tres circumferències corresponents als respectius cercles màxims. Considerarem un triangle esfèric, com ara el triangle $ABC$ (Figura 1). Els punts $A$, $B$ i $C$ s'anomenen vèrtexs del triangle esfèric, i els costats $a$, $b$ i $c$ són els costats del mateix que, donat que representen arcs de circumferència, els podem mesurar donant la magnitud del seu angle central. Per altra banda, els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ corresponen als angles que formen els plans que tallen l'esfera i passen pel seu centre: $\alpha \equiv \angle (OAC, OAB)$ $\beta \equiv \angle (OBC, OAB)$ $\gamma \equiv \angle (OAC, OBC)$

Figura 1

Els costats d'aquest triangle (esfèric) són arcs de cercles màxims. Una propietat elemental a remarcar és la que fa referència a la suma dels angles d'un triangle esfèric: $\alpha + \beta + \gamma \ge 180º$, un símptoma clar que aquesta geometria ja no és la euclidiana. Donada una superfície, anomenem geodèsica a la corba que uneix dos punts de la mateixa pel camí més curt possible. En una esfera, aquesta corba és el contorn del cercle màxim (circumferència) que passa per tots dos punts.

LES FÓRMULES DE BESSEL (GRUP I) SOBRE ELS TRIANGLES ESFÈRICS

Analitzant acuradament el triangle esfèric de la Figura 2 deduirem un conjunt de tres fórmules que expressen una relació entre els costats del triangle ($a$, $b$ i $c$) i els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$) i que ens permetran resoldre el problema plantejat al començament de l'escrit. Val a dir que aquestes tres igualtats [grup I de Bessel (Friedrich Bessel, 1784-1846] no són pas les úniques relacions que es poden deduir; aquí - per tal de no estendre'ns en excés - tan sols farem ús de les que necessitem.

Observem (Figura 2) que $\overline{OT}=\overline{OM}+\overline{MT} \quad \quad (1)$

Figura 2

Representació del triangle esfèric ABC. El sistema de referència, format per l'origen de coordenades $O$ (situat al centre de l'esfera) i els eixos perpendiculars $Ox$, $Oy$ i $Oz$, configura el triedre de plans perpendiculars Oxy, Oxz i Oyz. Hem girat convenientment el sistema de referència per tal que - no hi ha pèrdua de validesa en això - un dels vèrtexs del triangle esfèric es trobi damunt d'un dels tres eixos (en el cas de la figura, el vèrtex $C$ es troba damunt l'eix Oy) i un dels costats del triangle es trobi damunt d'un dels plans (en el cas de la figura, el costat $a$ es troba damunt del pla Oxy.

Tenint en compte els triangles rectangles plans $\triangle{OMR}$ i $\triangle{RNS}$ podem escriure les raons trigonomètriques de l'angle $a$ $\cos{a}=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OR}}$ i $\sin{a}=\dfrac{\overline{MT}}{\overline{RS}}$ substiuint aquestes expressions a (1) trobem $\overline{OT}=\overline{OR}\cdot \cos{a}+\overline{RS}\cdot \sin{a} \quad \quad (1')$ per altra banda, dels triangles $\triangle{OTA}$, $\triangle{ORA}$ i $\triangle{RSA}$, podem escriure $\cos{b}=\dfrac{\overline{OT}}{\overline{OA}}$ $\cos{c}=\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OA}}$ $\sin{c}=\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RO}}$ i $\cos{\beta}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{RA}}$ on $\beta$ designa l'angle $\angle(SRA)$ llavors, la igualtat (1') es pot escriure de la forma $\overline{OA} \cdot \cos{(b)}=\overline{OA} \cdot \cos{(c)}\,\cos{(a)}+\overline{OA} \cdot \sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)}$ i, simplificant, arribem a una de les tres igualtats de la trigonometria esfèrica grup I de Bessel que es coneix com a grup I de Bessel: $\cos{(b)}=\cos{(c)}\,\cos{(a)}+\sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)} \quad \quad (I1)$ Si permutem els costats (i angles) de la fórmula, podem escriure dues relacions més $\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)} \quad \quad (I2)$ $\cos{(c)}=\cos{(a)}\,\cos{(b)}+\sin{(a)}\,\sin{(b)}\,\cos{(\gamma)} \quad \quad (I3)$

CÀLCUL DE LA LONGITUD DE L'ARC DE GEODÈSICA DAMUNT D'UNA ESFERA

Quan ens referim a la superfície de la Terra, es coneix també com a problema del càlcul de la longitud de l'ortodròmica (Navegació) al problema que, ara, resoldrem fent ús del que s'ha dit anteriorment. Recordem l'enunciat del problema plantejat al començament de l'escrit: Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera). Entendrem que, aquí, en aquest problema, els vèrtexs del triangle esfèric (figures 1 i 2) tenen els següent significat:     Fem coincidir $A$ amb el Pol Nord geogràfic     El vèrtex $B$ correspon al punt de la trajectòria ortodròmica $P_{1}(l_1,L_1)$ (un dels extrems de la geodèsica)     El vèrtex $C$ correspon al punt $P_{2}(l_2,L_2)$ (l'altre extrem de la geodèsica)     El costat $a$ representa representa la longitud del camí entre els dos extrems de la geodèsica (distància mínima entre tots dos punts) que anomenarem $s$ (longitud de l'ortodròmica entre aquest dos punts). El valor de la magnitud de $s$ entre els dos punts $P_1$ I $P_2$, la trobarem, primer, expressada en unitats angulars, per bé que, al final, la convertirem a unitats de longitud, tenint en compte l'equivalència entre les untitats angulars d'arc de circumferència de cercle màxim - és a dir, de meridià (geodèsica de la superfície d'una esfera) - i les unitats de longitud d'arc. Llavors, partint de la igualtat (I2) $\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)}$ i tenint en compte el significat concret dels elements del triangle que acabem d'explicar quan el vèrtex $A$ el fem coincidir amb el Pol Nord cal escriure: $b=90º-l_1$ i, per tant, $\cos{(b)}=\sin{(l_1)}$   i   $\sin{(b)}=\cos{(l_1)}$ $c=90º-l_2$ i, per tant, $\cos{(c)}=\sin{(l_2)}$   i   $\sin{(c)}=\cos{(l_2)}$ Per altra banda, $\alpha$ representa la diferència de longituds entre els dos extrems del camí $P_1$ i $P_2$ és a dir $\alpha=\left|L_1-L_2\right|$, que anomenarem $\Delta \, L$ A partir de tot això ja tenim el càlcul a punt: $\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$ Tindrem en compte que el valor de la latitud d'un punt sobre la superfície de l'esfera és positiu si el punt es troba a l'hemisferi Nord; i negatiu, si es troba a l'hemisferi Sud. No cal dir que la coordenada de longitud (el valor de $L$) cal donar-les també amb el signe corresponent (positiva si es troba a l'Est del meridià zero, i negativa si es troba a l'Oest d'aquest meridià de referència). Per acabar, i anomenant $k$ al valor del segon membre de la igualtat anterior [ $\cos{s}=k$ ($-1 \le k \le 1$ ] trobarem el valor de $s$ fent ús de la recíproca de la funció cosinus: $s = \arccos{k}$ (prenent valors entre 0º i 360º) Per calcular la longitud d'arc de cercle màxim entre dos punts (del camí sobre la geodèsica) en unitats de longitud, tindrem en compte que $1'$ d'arc de meridià terrestre [ la longitud d'un meridià és igual a la de la circumferència d'un cercle màxim ] equival a $1 \, \text{milla \, nàutica}$   ( $1 \, \text{milla \, nàutica} \approx 1\,852 \, m$ ).

EXEMPLE:

Enunciat: Determineu la distància sobre la geodèsica $s$ entre els punts: $P_1$, de coordenades $l_1=-5º \, \text{S}$, $L_2=40º \, \text{E}$ i $P_2$, de coordenades $l_1=45º \, \text{N}$, $L_2=60º \, \text{W}$ Resolució: Tenint en compte que $\Delta L = |40º-(60º)|= 100º$ així com les dades de les latituds, la fórmula de Bessel $\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$ ens dóna el següent valor $\cos{(s)}=\sin{(-5º)}\,\sin{(45º)}+\cos{(-5º)}\,\cos{(45º)}\,\cos{(100º)}$ és a dir $\cos{(s)}\approx -0,1839$ per tant $s = \arccos{(-0,1839)} \approx 100,5999º$ i convertint a minuts d'arc de meridià (de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) multiplicant per $60$ (minuts que té cada grau) trobem $s \approx 6036 \,'$ i com que $1'$ d'arc de meridià (i, en general, de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) equival a $1 \, \text{milla nàutica}$ el camí entre els dos punts té una longitud de $6036 \, \text{milles \, nàutiques}$ Si ho volem expressar en quilòmetres, cal recordar que $1' \, \text{(d'arc de meridià)} = 1 \, \text{milla nàutica} \approx 1\,852 \, \text{m} $ per tant $s \approx 11\,179 \, \text{km}$ $\square$

Determinación de la latitud del observador a partir de la altura del Sol a su paso por el meridiano superior (del observador)

Preparació de l'observació A partir de la situació estimada, disposats a observar el Sol al seu pas pel meridià del lloc, ens cal conèixer l'hora del rellotge de bitàcola a la qual tindrà lloc l'esdeveniment. Per això, entrarem a l'Almanac de l'any i consultem a quina hora passa el Sol pel meridià de Greenwich (hora en aquest meridià); això ve resenyant a l'Almanac amb les sigles PMG ("pas pel meridià de Greenwich"). Tindrem ben present que aquest hora és l'hora civil del meridià de Greenwich en el moment del pas del Sol pel meridià superior de Greenwich. Comencem, doncs, calculant (1) l'HcG (TU) del pas del Sol pel nostre meridià (meridià de l'observador) a partir del PMG: HcG p.s.m.s.l = PMG + L/15; on L/15 es la longitud de la posició de l'observador expressada en temps; y (2), tot seguit, ens cal calcular l'hora legal o hora del rellotge de bitàcola Hz de l'observador en el moment del pas del Sol pel seu meridià. Per això, ens cal conèixer el número de fus horari Z, el qual calculem a partir de la longitud estimada, Z és igual al major enter més proper a la quantitat $(L-7,5)/15$ amb el signe que correspongui (positiu si ens trobem a l'Est del meridià de Greenwich, i negatiu en cas contrari); llavors, Hz p.s.m.s.l = HcG p.s.m.s.l + Z. I, així, ens podem preparar, amb temps suficient, per estar a punt per fer les mesures d'observació del Sol en el moment de la seva culminació al seu pas pel meridià del lloc. Determinació de la latitud del lloc Per determinar la latitud, en aquest cas, ens estem referint a l'observació del Sol, però notem que el procediment de càlcul és el mateix que cal fer servir a l'hora d'observar el pas pel meridià del lloc de qualsevol astre. En general, podrem observar l'astre passant pel meridià superior (angle horari local de l'astre igual a zero), o bé, passant pel meridià inferior (angle horari local de l'astre igual a $180^\circ$). En punts d'observació de latituds no molt elevades, el Sol sempre culmina passant pel meridià superior (angle horari local de Sol igual a zero). Segons l'època de l'any, al seu pas pel meridià del lloc de l'observador, el Sol demora al Nord (des de l'equinocci de primavera a l'equinocci de tardor) éssent la declinació del Sol positiva, o bé al Sud de l'observador (des de l'equinocci de tardor a l'equinocci de primavera), éssent la declinació del Sol igual a zero en els momentos dels equinoccis. Segons l'època de l'any, observarem, doncs, el Sol en la seva culminació, cara al Nord, o bé cara al Sud, i per tant caldrà tenir-ho en consideració a l'hora de resoldre aquest problema de la determinació de la latitud. Tot això queda ben clar si ens entretenim a traçar un esquema gràfic on aparegui l'equador celest, l'horitzó de l'observador, el Sol/astre i el Zenit. Fent la suma d'angles amb la figura al davant quedarà clar que la latitud l ha de ser igual a $d + z$ si el Sol demora al Sud ($l=d+z$), i a $d -z$ ($l=d-z$) si aquest demora al Nord, on $z$ és la colatitud ($z:=90^\circ-a$) i $a$ és l'altura vertadera del Sol en la seva culminació, que obtenim a partir de l'altura observada amb el sextant, fent les correccions pertinents. No cal dir que la declinació $d$ del Sol la treuerem de l'Almanac Nàutic, entrant amb l'hora i la data.