Distancia al horizonte

Maria passeja per la platja, s'atura i contempla la mar (la seva altura és de 1,65 m). És l'hora foscant. No veu cap embarcació a la llunyania, només el blau del mar i la fina línia de l'horitzó a la llum de l'ocàs; però, tot d'una, es comença a veure un dels llums de navegació de l'extrem del pal d'un veler (suposem que l'altura del pal és de 10 m). Quina distància hi ha entre el veler i Maria ? Distància a l'horitzó: Primer de tot, cal saber calcular la distància a l'horitzó d'un observador. Per això podem imaginar una petita boia amb un llum (la seva altura és negligible), siutuada just en el punt més enllà del qual (a més distància de la platja) ja no es pot veure (des de la platja) degut a la curvatura de la Terra. Posem que a és l'altura d'un observador. Com es pot veure a la figura (la circumferència representa la circumferència meridiana, E el punt de l'horitzó de l'observador E), per fer un càlcul aproximat de la distància a l'horitzó s és possible fer ús del teorema de Pitàgores, en el benentès que l'altura a la qual observem sigui moderada (no pensem en un observador que viatja en un avió a gran altitud, sinó en un observador situat a prop la superfície de la Terra), en el sentit que la distància a l'horitzó s pugui ser aproximada per la longitud DE del quadrat de color verd. Observeu la configuració del teorema de Pitàgores: els quadrats (de colors marró, verd, i rosa) damunt dels respectius costats del triangle rectangle AED. Naturalment es compleix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa $R+a$ cal que sigui igual a la suma de les àrees dels altres dos quadrats, bastits damunt els respectius catets; per tant, l'àrea del quadrat de color verd és igual a $(r+A)^2-r^2$, que és igual a $2rA$. Llavors, la longitud del costat d'aquest quadrat pren el valor i és igual, aproximadament a la distància a l'horitzó $s \approx \sqrt{2Rr}$. Prenent el radi de la Terra igual, aproximadament, a $3670\,\text{km}$, podem escriure la següent expressió aproximada (fàcil de recordar) per poder fer càlculs aproximats, quan fem observacions "de camp": $s \approx \sqrt{13\,a}$, entrant $a$ en metres, obtenim la distància a l'horitzó en quilòmetres. I, de gran interès per als navegants: si es vol donar en milles nàutiques (NM), cal recordar que $1\,\text{NM} \approx 1852\,\text{m}=1,852\,\text{km}$. Ara que ja sabem calcular la distància a l'horitzó d'un observador, podrem calcular la distància entre dos observadors; seguint l'exemple, un d'ells és la Maria (situada a la platja, dreta) i el segon observador l'imaginarem posat a l'extrem del pal del veler (mirant vers la posició de la Maria). Fem-ho: Distància entre el veler i la Maria: En el cas concret que hem plantejat, cal sumar la distància a l'horitzó de la Maria i la distància a l'horitzó d'un observador que estigués situat a l'extrem del pal (observant en direcció a la platja, on es troba la Maria): Sumant les distàncies a l'hortizó respectives, $s=s_1+s_2$, trobem que la distància aproximada entre el veler i la Maria és igual a $(\sqrt{13\cdot 10} + \sqrt{13\cdot 1,65})/1,852$, i, aproximant al primer digit decimal: $s \approx 8,7 \, \text{NM}$ Referències: ROJO, A.   La física en la vida cotidiana. RBA Libros, 2010 JOUETTE, A.   El secreto de los números. Robinbook, 2000