Recordemos que el teorema del coseno para triángulos esféricos de vértices $A,B$ y $C$ afirma que
$$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$
$$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$
$$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$
Y se ha visto también que el teorema del seno afirma: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$
La navegación astronómica hace uso de esos importantes resultados para resolver el llamdo triángulo de altura, en el que el vértice $A$ se sitúa en uno de los dos polos de la esfera celeste (constructo abstracto con radio arbitrario, en particular, igual a la unidad de longitud), por lo que lo renombramos con la letra $P$ (de polo), con lo cual el lado enfrentado a $P$ podemos pasar a renombrarlo con la letra $p$. Por otra parte, el vértice $B$, lo renombraremos con la letra $Z$, pues convenimos que éste corresponde al Azimut (punto de la esfera celeste que está alineado con el centro de la misma y la posición del observador en la superficie de la Tierra), y a $C$ lo renombraremos con la letra $A$, pues convenimos que corresponde a la posición del astro con el que el observador está trabajando.
Por el convenio de notación estándar de los triángulos esféricos, conviene renombrar el lado $b$ con la letra $z$, y al lado $c$ con la letra $a$
Con esta nueva notación tendremos:
$$\cos\,p=\cos\,a\cdot \cos\,z+\sin\,a \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{P}$$
$$\cos\,z=\cos\,\delta\cdot \cos\,a+\sin\,\delta \cdot \sin\,a \cdot \cos\,\hat{Z}$$
$$\cos\,a=\cos\,p\cdot \cos\,z+\sin\,p \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{A}$$
$$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\sin\,p}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\sin\,z}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}$$
Así las cosas, $\hat{Z}$ representa el azimut del astro; $\hat{P}$ es el llamdo ángulo en el polo, que, como veremos viene a ser el ángulo horario local del astro, y $\hat{A}$ es el llamado ángulo paraláctico. Además, como puede apreciarse en la Figura 2, $p=90^\circ - a_e$ (distancia cenital), siendo $a_e$ la altura sobre el horizonte del astro, que calculamos a partir de una posición de latitud estimada, $\lambda_e$, de la posición del observador; $c=90^\circ - \lambda_e$ (colatitud), siendo $\lambda_e$ la latitud estimada del observador, y $z=90^\circ -\delta$ (codeclinación), donde $\delta$ es la declinación (coordena ecuatorial) del astro en el instante de la observación.
Teniendo en cuenta ahora que, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares, y que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario, y, recíprocamente, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, las fórmulas anteriores se escriben ahora de la siguiente manera:
$$\sin\,a_e=\sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P} \quad (1)$$
$$\sin\,\delta=\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e+cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{Z} \quad (2)$$
$$\sin\,\lambda_e=\sin\,a_e \cdot \sin\,\delta+\cos\,a_e \cdot \cos\,\delta \cdot \cos\,\hat{A} \quad (3)$$
y
$$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\cos\,a_e}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\cos\,\delta}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\cos\,\lambda_e} \quad (4)$$
De $(4)$ y, habiendo calculado la altura estimada $a_e$, y conociendo el ángulo en el polo entre el astro y el Azimut del observador, así como la declinación del astro, podemos pues calcular el azimut del astro: $$\sin\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \quad (4')$$ con lo cual $$\hat{Z}=\text{arcsin}\,\left( \dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \right) \quad (4'')$$
También podemos calcular $\hat{Z}$, despejando directamente de $(2)$: $$\cos\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \quad (2')$$ por lo tanto $$\hat{Z}=\text{arccos}\left(\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \right) \quad (2'')$$
También es útil la siguiente fórmula (llamada de la cotangente), que permite calcular directamente $\hat{Z}$ sin tener que haber calculado préviamente la altura estimada $a_e$:
$$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}}-\dfrac{\sin\,\lambda_e}{\tan\,\hat{P}} \quad (5)$$
Para justificarla, partimos de $(2')$ y $(4')$; dividiendo, miembro a miembro, la primera entre la segunda, se llega a
$$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\dfrac{\sin\,\delta -\sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\cos\,\lambda_e \cdot \cos \,a_e}}{\dfrac{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e}}=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e}$$
y teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\sin\,\delta - ( \sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}) \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos \delta}$
$=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}-\sin^2\,\lambda_e\cdot \sin\,\delta}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
$=\dfrac{\sin\,\delta\cdot (1-\sin^2\,\lambda_e) - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
$=\dfrac{\sin\,\delta\cdot \cos^2\,\lambda_e - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
$=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos^2\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} $
$=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} } $
$=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} } $
y teniendo en cuenta que $\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=:\text{cotan}\,\hat{Z}$ se llega a lo que queríamos justificar $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} }$$
$\diamond$
