Resumen de las fórmulas de Bessel para resolver triángulos esféricos generales

Consideramos un triángulo esférico general de vértices $A,B$ y $C$, cuyos ángulos interiores son $\alpha:=\measuredangle(CAB),\beta:=\measuredangle(ABC)$ y $\gamma:=\measuredangle(BCA)$; siendo los lados opuestos a cada vértice, $a,b$ y $c$, respectivamente. Nota: Es conveniente, para empezar, hacer un dibujo del triángulo esférico con esa notación normalizada.

Distinguimos cuatro grupos:

• El grupo I de Bessel (fórmulas de los cosenos) expresa la relación entre tres lados y un ángulo:
  1. $\cos(a)=\cos(b)\cdot \cos(c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$
  2. $\cos(b)=\cos(a)\cdot \cos(c)+\sin(a)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\beta)$
  3. $\cos(c)=\cos(a)\cdot \cos(b)+\sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma)$
• El grupo II de Bessel (fórmulas de los senos) expresa, en una triple igualdad, la relación entre los ángulos y sus lados opuestos:
  1. $\dfrac{\sin(a)}{\sin(\alpha)}=\dfrac{\sin(b)}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}$
• El grupo III de Bessel (fórmulas de las cotangentes) expresa la relación entre dos de los lados del triángulo, el ángulo comprendido entre éstos, y el ángulo opuesto a uno de ellos:
  1. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
  2. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
  3. $\text{cotan}(b)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\beta)$
  4. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
  5. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(c)=\cos(c)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
• El grupo IV de Bessel expresa la relación entre tres ángulos y un lado:
  1. $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a)$
  2. $\cos(\beta)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\alpha) \cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(b)$
  3. $\cos(\gamma)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c)$

Ejemplo: Para resolver el problema de la ortodrómica, eligiendo las fórmulas apropiadas y empleando las siguientes asignaciones de notación

• vértices: $A:=I$ (punto de partida), $B:=P_n$ polo norte terrestre, $C:=F$ (punto de llegada)
• situación de partida: $I(\ell_I,L_I)$
• situación de llegada: $F(\ell_F,L_F)$
• lados: $a:=90^\circ-\ell_F$, $c:=90^\circ-\ell_I$, $b:=D$ (distancia a navegar)
• ángulos internos del triángulo: $\beta:=\Delta\,L=|L_F-L_I|$ (diferencia en valor absoluto entre la longitud final y la inicial), $\alpha:=R_I$ (rumbo inicial), $\gamma:=$contrarrumbo final
• signos: N(+), S(-), W(-), E(+)

llegaremos a estas cuatro, que son muy útiles en la práctica:

1. $\cos(D)=\sin(\ell_I)\cdot \sin(\ell_F)+\cos(\ell_I)\cdot (\cos(\ell_F)\cdot \cos(\Delta\,L)$ (fórmulas del grupo II)
2. $R_I=\text{arccos}\left( \dfrac{\sin(\ell_F)-\sin(\ell_I)\cdot \cos(D)}{\sin(D)\cdot \cos(\ell_i)}\right)$, que podemos emplear para calcular el rumbo inicial, una vez hayamos calculado la distancia a navegar (fórmulas del grupo II)
3. Y, también, podemos calcularlo directamente (sin haber calculado antes $D$), mediante: $R_I=\text{arctan}\left( \dfrac{\sin(\Delta\,L)}{\tan(\ell_F)\cdot \cos(\ell_I)- \tan(\ell_I)\cdot \cos(\ell_I)\cdot \cos(\Delta\,L)} \right)$ (por las fórmulas del grupo III)
4. $R_F=180^\circ -\measuredangle (P_n\,F,I)$, donde $\measuredangle (P_n\,F,I)=\text{arcsin}\left( \sin(R_I)\cdot \dfrac{\cos(\ell_I)}{\cos(\ell_F)} \right)$, empleando las fórmulas del grupo II

-oOo- Ejemplo:
Vídeo 1/2 Vídeo 2/2 -oOo-

Referencias:
[1] C. de N. Moreu Curbera; C. de N. Martínez Jiménez, Astronomía y Navegación, Tomo I, pp. 7-14

Sobre cómo iniciarse en la Navegación Astronómica

Para iniciarse en la Navegación Astronómica, habrá que empezar con lo básico: los importantes conceptos sobre la esfera celeste, identificación de astros, con un simple planisferio; luego nos meteremos con el tema de las coordenadas, el manejo del Almanaque Náutico, y, al tiempo, podemos ir empleando algún programa de ordenador de software libre como son Cartes du Ciel o Stellarium ..., incluso alguna aplicación gratuita para dispostivos móviles como es Sky Viewer, y más adelante, con un buscador Star Finder. Después, el manejo del sextante y la toma (medida) de alturas de los astros seleccionados. Y como colofón, los cálculos para, a partir de los triángulos de altura, obtener los llamados parámetros de las rectas de altura: (1) la diferencia entre la altura verdadera y la altura calculada, y (2) el azimut (del astro) verdadero (que también hay que calcular), con los cuales trazaremos la recta de altura sobre una hoja de papel, convenientemente preparada. Comprobaréis -tened fe- que los cálculos no son tan difíciles como se puede pensar al principio; los haremos con la ayuda de una calculadora científica básica y con una buena comprensión de los conceptos. Así podremos determinar la situación verdadera (aunque no exacta, claro, como en todos los resultados que se desprenden de las mediciones) del observador, partiendo de una situación estimada, y, en general, habiendo trazado un mínimo de dos rectas de altura, correspondientes, en principio, a la observación de dos astros distintos. Para contrastar los resultados de las prácticas que hagamos emplearemos los posicionadores GPS (con el del teléfono móvil o bien uno portátil, vale; no hace falta cartografía digital en segundo plano).

Para la comunicación a distancia con otras personas aficionadas: poner en común y debatir, utilizo un programa gratuito para videoconferencias, Jitsi, que funciona bastante bien. No es necesario instalar software en el ordenador y tampoco es necesario registrarse en las reuniones. Aunque, si podemos reunirnos en persona, mucho mejor ... o, por lo menos, una combinación de ambas cosas, en especial, para a la hora de juntarnos en grupos para realizar prácticas de observación.

Además, y aunque no me manejo muy bien todavía con esta herramienta (Telegram), he estado estudiando la posibilidad de organizar los mensajes 'por temas', pues creo que es interesante a la hora de facilitar la búsqueda de información específica, ya que a medida que vayamos hablando, se va a producir un galimatías de conversaciones. Me parece que ya sé cómo hacerlo: encontraréis estos primeros mensajes que nos hemos intercambiado en el tema que se titula "General', el cual puede servir para hablar de eso, de generalidades. Para cada cosa específica, voy a ir, creando carpetas ('temas'). $\diamond$

Elementos para el aprendizaje de la navegación astronómica y la navegación de altura

Elementos básicos en la navegación de altura:
1. Navegación Astronómica
   • Esfera celeste: Línea vertical o cenit nadir. Horizonte racional o verdadero. Distintas clases de horizontes. Semicírculo vertical. Almicantarat. Eje del mundo o líneas de los polos, Ecuador celeste, etc.
   • Coordenadas celestes de los astros: Coordenadas horizontales: Altura y azimut. Distintas formas de contar el azimut. Distancia cenital. Amplitud. Coordenadas horarias. Distancia polar o codeclinación. Diferencia ascensional. Movimiento propio de algunos astros. Estudio del movimiento aparente del sol. Eclíptica, Zodíaco, etc.
   • Triángulo de posición: Sus elementos. Valor del ángulo en el polo en función del horario en el lugar. Valor del ángulo en el cenit en función del azimut.
   • Movimiento aparente de los astros: Generalidades. Arcos diurno y nocturno. Ortos y ocasos. Paso de los astros por el meridiano superior e inferior del lugar.
   • La Luna: Periodo y fases de la Luna.
   • Las Estrellas: Magnitud estelar. Constelaciones. Enfilaciones para encontrar las estrellas principales partiendo de la constelación de la Osa Mayor, Orión, Escorpión, Pegaso, Cruz del Sur. Catálogos y planisferios. Buscador de estrellas (Star Finder). Software de simulación del cielo nocturno (Cartes du Ciel, Stellarium, Sky View, ...)
   • La medida del tiempo: Diferencia de hora entre dos lugares. Hora reducida. Husos horarios. Hora legal, hora inicial. Relación entre hora civil del lugar, hora legal. Línea internacional de cambio de fecha, …
   • El Almanaque Náutico: Descripción del almanaque : Conocida la hora de TU, calcular el horario del Sol en Greenwich y su declinación, pasar de horario en Gw a horario en lugar y viceversa, …
   • El sextante: Descripción Lectura de su graduación. Corrección de índice, observación de la altura de un astro con el sextante: Sol, planeta o estrella, corrección de las alturas observadas, cálculo de las coordenadas, …
   • Reconocimiento de astros: Conocidos la situación de estima del observador, la hora de TU de la observación, la altura y el azimut del astro desconocido, hallar su horario, su declinación y reconocerlo.
   • Determinación de la posición. Recta de altura: Sus determinantes. Casos particulares de la recta de altura. Latitud por altura, meridiana de un astro, por altura de la estrella Polar. Utilidad de una sola recta de altura, etc.
   • Situación por rectas de altura: Situación por dos rectas de altura simultáneas, por dos rectas y tres de altura no simultáneas, calcular el intervalo hasta el paso de un astro por el meridiano del buque en movimiento,…
   • Las representaciones de la Tierra: Proyecciones. Idea de la proyección mercatoriana. Escala de las cartas. Clasificación según la escala y la proyección gnomónica, …
   • Derrota loxodrómica: Ecuación de la loxodrómica. Cálculo del problema directo e inverso de la estima empleando latitudes aumentadas.
   • Derrota ortodrómica: Concepto general. Cálculo del rumbo ortodrómico. Cálculo de la distancia ortodrómica entre dos puntos de la esfera terrestre.
   • Navegación con posicionador satelital: GPS. Generalidades, descripción y funcionamiento.
   • Publicaciones náuticas esenciales: Amanaque Náutico. Anuario de Mareas. Libro de faros y señales de niebla. Derroteros. Cartas náuticas. Libro de señales radioléctricas. Reglamento de prevención de abordajes (RIPA). Pilot charts, etcétera
-oOo- Lo siguiente, como complementario -pero no menos importante-, también hay que considerarlo:
1. Encuentros en altamar con otros barcos. Cinemática:
   • Movimiento absoluto y relativo. Triángulo de velocidades. Rosa de maniobra. Estudio del movimiento relativo de otro buque, …
   • Movimiento absoluto y relativo. Triángulo de velocidades. Rosa de maniobra. Estudio del movimiento relativo de otro buque, …
   • El Radar: Fundamentos del radar. Descripción y funcionamiento. Interpretación de la pantalla. Marcaciones y demoras. Medición de distancias. Zonas de sombra. Ecos falsos. Radar de movimiento verdadero. Empleo práctico.
   • VHF
   • AIS
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2. Sistemas y dispositivos de comunicación y obtención de información diversa (meteorológica, alertas, etcétera) que operan a larga (o muy larga) distancia:
   • BLU
   • NAVTEX
   • Teléfonos y otros dispositivos de envío y recepción de mensajes digitales que funcionan por medio de satélites y que, en principio, son de cobertura global
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1. Magnetismo terrestre
   • Magnetismo terrestre: Elementos magnéticos terrestres. Distribución.
   • Desvío de la aguja magnética: Causas que la producen. Campos magnéticos que actúan sobre la aguja a bordo. Determinación de los desvíos por marcaciones a un objeto lejano y por marcaciones al Sol u otros astros, …
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Un ejemplo de aplicación de uso del radar. Un ejercicio de velocidad relativa

Una embarcación $A$ navega hacia el Este a una velocidad de $10$ nudos. El patrón de otra embarcación, $B$, que navega con rumbo $030^\circ$ (esto es, $\text{N}\,30^\circ\,\text{E}$), quiere calcular a qué velocidad debe navegar para que en la pantalla de radar de la embarcación $A$ vean, en todo momento, que su embarcación desplaza hacia el Norte?

Representando los vectores de velocidad $\vec{v_A}$, $\vec{v_B}$ y el vector de velocidad relativa de $B$ con respecto a $A$ ($\vec{v_r}=\vec{v_B}-\vec{v_A}$) en las condiciones expuestas en el enunciado, se configura el siguiente triángulo vectorial, que, en nuestro caso es un triángulo rectángulo:

Entonces, como el módulo de $\vec{v_A}$ es $\left\|\vec{v_A}\right\|=10$ nudos (que designaremos por, por comodidad, por $v_A$), el módulode $\vec{B}$ (que designaremos por $v_B$) ha de cumplir que $\dfrac{10}{v_B}=\cos(90^\circ-30^\circ)$, esto es,
  $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\cos(60^\circ)}$
    $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}$
      $\dfrac{v_B}{10}=2$
        $v_B=2\cdot 10$
          $v_B=20$ nudos
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L'arc de Sant Martí després de la pedregada

Port de Torredembarra, abril de 2024

Uso de las fórmulas del triángulo de altura para obtener los parámetros de una recta de altura. Situación mediante dos rectas de altura

En una fecha y hora determinada, conociendo la situación estimada del observador/embarcación, $(\lambda_e\,,\,\varphi_e)$, para poder trazar una recta de altura en una carta (o en una carta en blanco) a partir de la observación de un cierto astro $A$ a la hora $TU$ de la observación, necesitamos medir con el sextante la altura verdadera, $a_v$, de dicho astro; y, además, necesitamos calcular la altura estimada, $a_e$, que es la altura que mediríamos del astro si, realmente, estuviésemos en la situación estimada, al objeto de poder calcular el determinante del astro, que viene dado por la diferencia entre la altura verdadera que hemos medido y la altura estimada que hemos calculado, $\Delta:=|a_v-a_e|$. También necesitamos calcular el azimut $\hat{Z}$ del astro. La recta de altura es la recta perpendicular a la semirrecta azimutal que partiendo del punto de la situación estimada dista de éste una distancia $\Delta$.

El horario local del astro (ángulo en el polo $\hat{P}$) y su declinación, $\delta$, se obtienen de la consulta del Almanaque Náutico del año en curso, teniendo en cuenta la latitud de la situación estimada $\lambda_e$. Hecho ésto, habremos resuelto el triángulo de altura. Véanse para ello las fórmulas que se han justificado en el artículo precedente, para, en concreto, poder obtener la altura estimada $a_e$ y el azimut del astro, $Z$, obteniendo así los parámetros de la recta de altura: $\Delta$ y $\hat{Z}$. Véase también la leyenda de la figura para ver la relación entre las coordenadas horarias y las coordenadas uranográficas ecuatoriales.

Es evidente que con una sóla recta de altura no es suficiente para obtener la situación del observador, pues al haber dibujado la recta, dicha situación que buscamos puede ser cualquier punto de la misma (y hay infinitos puntos en una recta). Así que, por lo menos, necesitaremos realizar la observación de un segundo astro y trazar una segunda recta de altura: el punto de intersección correspondera a la situación del observador. Nota: la segunda recta de altura la podemos haber tomado mediante la observación del mismo astro horas más tarde que en la primera observación, trasladando por estima la primera recta de altura.

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Fórmulas para resolver el triángulo de altura en navegación astronómica

Recordemos que el teorema del coseno para triángulos esféricos de vértices $A,B$ y $C$ afirma que $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

Y se ha visto también que el teorema del seno afirma: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

La navegación astronómica hace uso de esos importantes resultados para resolver el llamdo triángulo de altura, en el que el vértice $A$ se sitúa en uno de los dos polos de la esfera celeste (constructo abstracto con radio arbitrario, en particular, igual a la unidad de longitud), por lo que lo renombramos con la letra $P$ (de polo), con lo cual el lado enfrentado a $P$ podemos pasar a renombrarlo con la letra $p$. Por otra parte, el vértice $B$, lo renombraremos con la letra $Z$, pues convenimos que éste corresponde al Azimut (punto de la esfera celeste que está alineado con el centro de la misma y la posición del observador en la superficie de la Tierra), y a $C$ lo renombraremos con la letra $A$, pues convenimos que corresponde a la posición del astro con el que el observador está trabajando.

Por el convenio de notación estándar de los triángulos esféricos, conviene renombrar el lado $b$ con la letra $z$, y al lado $c$ con la letra $a$

Con esta nueva notación tendremos: $$\cos\,p=\cos\,a\cdot \cos\,z+\sin\,a \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{P}$$ $$\cos\,z=\cos\,\delta\cdot \cos\,a+\sin\,\delta \cdot \sin\,a \cdot \cos\,\hat{Z}$$ $$\cos\,a=\cos\,p\cdot \cos\,z+\sin\,p \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\sin\,p}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\sin\,z}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}$$

Así las cosas, $\hat{Z}$ representa el azimut del astro; $\hat{P}$ es el llamdo ángulo en el polo, que, como veremos viene a ser el ángulo horario local del astro, y $\hat{A}$ es el llamado ángulo paraláctico. Además, como puede apreciarse en la Figura 2, $p=90^\circ - a_e$ (distancia cenital), siendo $a_e$ la altura sobre el horizonte del astro, que calculamos a partir de una posición de latitud estimada, $\lambda_e$, de la posición del observador; $c=90^\circ - \lambda_e$ (colatitud), siendo $\lambda_e$ la latitud estimada del observador, y $z=90^\circ -\delta$ (codeclinación), donde $\delta$ es la declinación (coordena ecuatorial) del astro en el instante de la observación.

Teniendo en cuenta ahora que, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares, y que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario, y, recíprocamente, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, las fórmulas anteriores se escriben ahora de la siguiente manera:

$$\sin\,a_e=\sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P} \quad (1)$$ $$\sin\,\delta=\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e+cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{Z} \quad (2)$$ $$\sin\,\lambda_e=\sin\,a_e \cdot \sin\,\delta+\cos\,a_e \cdot \cos\,\delta \cdot \cos\,\hat{A} \quad (3)$$ y $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\cos\,a_e}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\cos\,\delta}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\cos\,\lambda_e} \quad (4)$$

De $(4)$ y, habiendo calculado la altura estimada $a_e$, y conociendo el ángulo en el polo entre el astro y el Azimut del observador, así como la declinación del astro, podemos pues calcular el azimut del astro: $$\sin\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \quad (4')$$ con lo cual $$\hat{Z}=\text{arcsin}\,\left( \dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \right) \quad (4'')$$

También podemos calcular $\hat{Z}$, despejando directamente de $(2)$: $$\cos\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \quad (2')$$ por lo tanto $$\hat{Z}=\text{arccos}\left(\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \right) \quad (2'')$$

También es útil la siguiente fórmula (llamada de la cotangente), que permite calcular directamente $\hat{Z}$ sin tener que haber calculado préviamente la altura estimada $a_e$: $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}}-\dfrac{\sin\,\lambda_e}{\tan\,\hat{P}} \quad (5)$$ Para justificarla, partimos de $(2')$ y $(4')$; dividiendo, miembro a miembro, la primera entre la segunda, se llega a $$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\dfrac{\sin\,\delta -\sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\cos\,\lambda_e \cdot \cos \,a_e}}{\dfrac{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e}}=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e}$$ y teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\sin\,\delta - ( \sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}) \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos \delta}$
  $=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}-\sin^2\,\lambda_e\cdot \sin\,\delta}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
    $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot (1-\sin^2\,\lambda_e) - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
      $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot \cos^2\,\lambda_e - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
        $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos^2\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
          $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} }$
            $=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} }$
y teniendo en cuenta que $\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=:\text{cotan}\,\hat{Z}$ se llega a lo que queríamos justificar $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} }$$

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