Uso de las fórmulas del triángulo de altura para obtener los parámetros de una recta de altura. Situación mediante dos rectas de altura

En una fecha y hora determinada, conociendo la situación estimada del observador/embarcación, $(\lambda_e\,,\,\varphi_e)$, para poder trazar una recta de altura en una carta (o en una carta en blanco) a partir de la observación de un cierto astro $A$ a la hora $TU$ de la observación, necesitamos medir con el sextante la altura verdadera, $a_v$, de dicho astro; y, además, necesitamos calcular la altura estimada, $a_e$, que es la altura que mediríamos del astro si, realmente, estuviésemos en la situación estimada, al objeto de poder calcular el determinante del astro, que viene dado por la diferencia entre la altura verdadera que hemos medido y la altura estimada que hemos calculado, $\Delta:=|a_v-a_e|$. También necesitamos calcular el azimut $\hat{Z}$ del astro. La recta de altura es la recta perpendicular a la semirrecta azimutal que partiendo del punto de la situación estimada dista de éste una distancia $\Delta$.

El horario local del astro (ángulo en el polo $\hat{P}$) y su declinación, $\delta$, se obtienen de la consulta del Almanaque Náutico del año en curso, teniendo en cuenta la latitud de la situación estimada $\lambda_e$. Hecho ésto, habremos resuelto el triángulo de altura. Véanse para ello las fórmulas que se han justificado en el artículo precedente, para, en concreto, poder obtener la altura estimada $a_e$ y el azimut del astro, $Z$, obteniendo así los parámetros de la recta de altura: $\Delta$ y $\hat{Z}$. Véase también la leyenda de la figura para ver la relación entre las coordenadas horarias y las coordenadas uranográficas ecuatoriales.

Es evidente que con una sóla recta de altura no es suficiente para obtener la situación del observador, pues al haber dibujado la recta, dicha situación que buscamos puede ser cualquier punto de la misma (y hay infinitos puntos en una recta). Así que, por lo menos, necesitaremos realizar la observación de un segundo astro y trazar una segunda recta de altura: el punto de intersección correspondera a la situación del observador. Nota: la segunda recta de altura la podemos haber tomado mediante la observación del mismo astro horas más tarde que en la primera observación, trasladando por estima la primera recta de altura.

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Fórmulas para resolver el triángulo de altura en navegación astronómica

Recordemos que el teorema del coseno para triángulos esféricos de vértices $A,B$ y $C$ afirma que $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

Y se ha visto también que el teorema del seno afirma: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

La navegación astronómica hace uso de esos importantes resultados para resolver el llamdo triángulo de altura, en el que el vértice $A$ se sitúa en uno de los dos polos de la esfera celeste (constructo abstracto con radio arbitrario, en particular, igual a la unidad de longitud), por lo que lo renombramos con la letra $P$ (de polo), con lo cual el lado enfrentado a $P$ podemos pasar a renombrarlo con la letra $p$. Por otra parte, el vértice $B$, lo renombraremos con la letra $Z$, pues convenimos que éste corresponde al Azimut (punto de la esfera celeste que está alineado con el centro de la misma y la posición del observador en la superficie de la Tierra), y a $C$ lo renombraremos con la letra $A$, pues convenimos que corresponde a la posición del astro con el que el observador está trabajando.

Por el convenio de notación estándar de los triángulos esféricos, conviene renombrar el lado $b$ con la letra $z$, y al lado $c$ con la letra $a$

Con esta nueva notación tendremos: $$\cos\,p=\cos\,a\cdot \cos\,z+\sin\,a \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{P}$$ $$\cos\,z=\cos\,\delta\cdot \cos\,a+\sin\,\delta \cdot \sin\,a \cdot \cos\,\hat{Z}$$ $$\cos\,a=\cos\,p\cdot \cos\,z+\sin\,p \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\sin\,p}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\sin\,z}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}$$

Así las cosas, $\hat{Z}$ representa el azimut del astro; $\hat{P}$ es el llamdo ángulo en el polo, que, como veremos viene a ser el ángulo horario local del astro, y $\hat{A}$ es el llamado ángulo paraláctico. Además, como puede apreciarse en la Figura 2, $p=90^\circ - a_e$ (distancia cenital), siendo $a_e$ la altura sobre el horizonte del astro, que calculamos a partir de una posición de latitud estimada, $\lambda_e$, de la posición del observador; $c=90^\circ - \lambda_e$ (colatitud), siendo $\lambda_e$ la latitud estimada del observador, y $z=90^\circ -\delta$ (codeclinación), donde $\delta$ es la declinación (coordena ecuatorial) del astro en el instante de la observación.

Teniendo en cuenta ahora que, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares, y que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario, y, recíprocamente, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, las fórmulas anteriores se escriben ahora de la siguiente manera:

$$\sin\,a_e=\sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P} \quad (1)$$ $$\sin\,\delta=\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e+cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{Z} \quad (2)$$ $$\sin\,\lambda_e=\sin\,a_e \cdot \sin\,\delta+\cos\,a_e \cdot \cos\,\delta \cdot \cos\,\hat{A} \quad (3)$$ y $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\cos\,a_e}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\cos\,\delta}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\cos\,\lambda_e} \quad (4)$$

De $(4)$ y, habiendo calculado la altura estimada $a_e$, y conociendo el ángulo en el polo entre el astro y el Azimut del observador, así como la declinación del astro, podemos pues calcular el azimut del astro: $$\sin\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \quad (4')$$ con lo cual $$\hat{Z}=\text{arcsin}\,\left( \dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \right) \quad (4'')$$

También podemos calcular $\hat{Z}$, despejando directamente de $(2)$: $$\cos\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \quad (2')$$ por lo tanto $$\hat{Z}=\text{arccos}\left(\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \right) \quad (2'')$$

También es útil la siguiente fórmula (llamada de la cotangente), que permite calcular directamente $\hat{Z}$ sin tener que haber calculado préviamente la altura estimada $a_e$: $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}}-\dfrac{\sin\,\lambda_e}{\tan\,\hat{P}} \quad (5)$$ Para justificarla, partimos de $(2')$ y $(4')$; dividiendo, miembro a miembro, la primera entre la segunda, se llega a $$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\dfrac{\sin\,\delta -\sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\cos\,\lambda_e \cdot \cos \,a_e}}{\dfrac{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e}}=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e}$$ y teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\sin\,\delta - ( \sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}) \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos \delta}$
  $=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}-\sin^2\,\lambda_e\cdot \sin\,\delta}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
    $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot (1-\sin^2\,\lambda_e) - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
      $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot \cos^2\,\lambda_e - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
        $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos^2\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} $
          $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} } $
            $=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} } $
y teniendo en cuenta que $\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=:\text{cotan}\,\hat{Z}$ se llega a lo que queríamos justificar $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} }$$

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El teorema de los cosenos en trigonometría esférica

En el artículo precedente hablaba de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica; en éste, utilizando la misma notación, voy a hablar de la extensión del teorema del coseno, que es otro de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\cos\,a=cos\,b\cdot \cos\,c+\sin\,b\cdot \sin\,c\cdot \cos\,\hat{A}$$

En esta figura se representa un triángulo esférico y un sistema de referencia cartesiano con origen, $O$, situado en el centro de la esfera, con radio igual a la unidad de longitud, y con una base ortonormal de vectores, que, en concreto, es la b. canónica, $\{\hat{i}=(1,0,0)\,,\,\hat{j}=(0,1,0)\,,\,\hat{k}=(0,0,1)\}$.

Sin pérdida de generalidad del resultado que se va a obtener, se ha hecho coincidir el eje $x$ con la dirección de la proyección del vector de posición del vértice $C$ del triángulo esférico, esto es, $\vec{\text{proy}}_{Oxy}\,(\vec{r}_C)$ tiene la misma dirección que el versor $\hat{i}$.

A la derecha de la figura se recuerda cómo describir un punto en el espacio tridimensional, $P$, a partir de sus coordenadas cartesianas, $P(x,y,z)$, y, también, mediante las coordenadas esféricas, $P(r,\varphi,\theta)$, que son las coordenadas naturales a la hora de operar en una esfera. La relación entre las coordenas esféricas y las cartesianas es la siguiente: $$P:\left\{\begin{matrix}x&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \cos\,\varphi \\y&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \sin\,\varphi \\ z&=&r\,\cos\,\theta \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Si bien, la geometría de la esfera es uno de los ejemplos de geometría no euclídea, estas fórmulas que extienden los resultados de la trigonometría plana nos sirven para resolver triángulos esféricos, y surgen en realidad de la misma geometría euclídea, pues, como voy a mostrar, para deducir en particular la de los cosenos, utilizaré el producto escalar euclídeo entre vectores; así que, dichas fórmulas no son ajenas a la métrica euclídea. Recordemos que en un triángulo esférico, los lados son arcos de círculos máximos (geodésicas en la superfície de una esfera entre dos puntos, que corresponden a los vértices del triángulo esférico), y que la magnitud que corresponde a la distancia entre dos puntos de la esfera sobre la geodésica que los une es de naturaleza angular.

Describo a continuación, de acuerdo con $(1)$, las coordenadas vectoriales de los vectores de posición de cada uno de los vértices $A,B$ y $C$ del triángulo esférico: $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C\cdot \cos\,\varphi_C\,, \,\sin\,\theta_C\cdot \sin\,\varphi_C, \cos\,\theta_C) \end{matrix}$$ Nótese que los módulos de dichos vectores son igual a $1$, puesto que señalan todos ellos a puntos de la superfície de la esfera de radio unidad. Además, hay que tener en cuenta que $\varphi_C=0$ ya que, como se ha convenido, la proyección del vector de posición de $C$ cae encima el eje $Ox$, luego $\cos\,\varphi_C=\cos\,0=1$ y $\sin\,\varphi_C=\sin\,0=0$, con lo cual se tiene que $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C,0,\cos\,\theta_C) \end{matrix}$$

A continuación, vemos que el producto escalar euclídeo de $\vec{r}_B$ por $\vec{r}_C$ es, por las dos definiciones equivalentes del mismo: $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix} \sin\,\theta_B\cdot\cos\,\varphi_B\cdot\sin\,\theta_C+0+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C \\ \left\|\vec{r}_B\right\|\cdot \left\|\vec{r}_C\right\|\cdot \cos\,\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)} \end{matrix}\right.$$ Ahora bien, hay que tener en cuenta que (véase la figura): $\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)}=a$, y recordemos que los vectores de posición de los vértices del triángulo tienen módulo igual a $1$, $\left\|\vec{r}_B\right\|=\left\|\vec{r}_C\right\|=1$, por consiguiente $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix}\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C\\ \cos\,a \end{matrix}\right.$$ con lo cual tiene que cumplirse que $$\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot \cos\,\theta_C=\cos\,a$$ Por otra parte, hay que darse cuenta (figura) de que: $\varphi_B=\hat{A}$, $\theta_B=c$ y $\theta_C=b$, con lo cual la ecuación anterior puede escribirse de la forma $$\sin\,c\cdot \cos\,\hat{A} \cdot \sin\,b+\cos\,c\cdot\cos\,b=\cos\,a$$ o lo que es lo mismo, $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ Comentario:
Haciendo un desarrollo análogo, haciendo coincidir los vectores de posición de $B$ (y, respectivamente, de $C$) con el eje $Oz$, se deducen las otras dos relaciones del teorema: $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ y $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

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El teorema del seno (o de los senos) de la trigonometría esférica

En este artículo voy a hablar de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica.

Un triángulo esférico es el que forman tres segmentos de circunferencias máximas en la superficie de una esfera. Sea un triángulo esférico como el de la figura. En este artículo voy a justificar el teorema del seno, uno de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

Hay que recordar que en un triángulo esférico los lados del mismo, $a,b$ y $c$, son arcos de circunferencias máximas y por tanto dichas magnitudes son angulares. Tomaremos la unidad como longitud arbitraria del radio de la esfera, esto es $OA=OB=OC=1$. Como se indica en la figura, los vértices del triángulo esférico son $A,B$ y $C$; y los ángulos entre los lados, con vértice en dichos puntos, son, respectivamente, $\hat{A}$, $\hat{B}$ y $\hat{C}$. El centro de la esfera es $O$.

Comienzo trazando desde $A$ el segmento de recta perpendicular a la recta que pasa por $O$ y por el vértice $B$ del triángulo esférico, el cual interseca en el punto $I$; también, desde $A$ trazo el segmento de recta, perpendicularmente, a la recta que pasa por $O$ y por el vértice del triángulo esférico $C$. Hecho ésto, y también desde $A$ trazo el segmento rectilíneo perpendicular al plano que contiene los puntos $O,C$ y $B$, y que lo intersaca en el punto $J$; denoto este segmento por $[A,J]$, indicando por tanto la medida de su longitud como $AJ$.

Del triángulo rectángulo plano $\triangle{OAH}$ podemos escribir que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{HOA}$, y como este ángulo es igual al lado, $b$, del triángulo esférico, teniendo en cuenta que $OA=1$, nos queda $$AH=\sin\,b \quad (1)$$ Haciendo lo mismo con el triángulo rectángulo plano $\triangle{OAI}$, se tiene que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{AIO}$, pero este ángulo es igual al lado, $c$, del triángulo esférico, luego podemos escribir $$AI=\sin\,c \quad (2)$$

Por otra parte, el trazar $AJ$ se forman dos triángulos rectánulos planos: $\triangle{AJH}$ y $\triangle{AIJ}$. Del primero, se tiene que $AJ=AH\cdot \sin\,\widehat{CHA}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{C}$ que forman los lados $a$ y $b$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AH\cdot \sin\,\hat{C} \quad (3)$$ Y del segundo triángulo rectángulo, se cumple que $AJ=AI\cdot \sin\,\widehat{AIJ}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{B}$ que forman los lados $a$ y $c$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AI\cdot \sin\,\hat{B} \quad (4)$$

Sustituyendo ahora $(1)$ en $3)$ y $(2)$ en $(4)$ se llega a $$\sin\,b \cdot \sin \, \hat{C}=\sin\,c \cdot \sin\, \hat{B} \quad (5) $$ y por consiguiente $$\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} \quad (5')$$

Haciendo una construcción análoga tomando como vértice superior del triángulo esférico $C$ llegaríamos fácilmente a una relación similar: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b} \quad (5'')$$ Así que de $(5')$ y $(5'')$ se deduce de manera inmediata la triple igualdad propuesta: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} $$

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Trigonometria esfèrica. Una demostració de la fórmula dels cosinus

En aquest escrit parlaré de l'extensió del teorema del cosinus de la trigonometría plana a la trigonometría esfèrica (resolució de triangles esfèrics)

Considerant la superfície de la Terra com una esfera (superfície esfèrica) ens introduirem, ara, en les geometries en les que cal sortir de la planitud del pla, resolent el següent problema pràctic de geometria esfèrica:

Problema:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Resoldrem aquest problema al final de l'escrit i exposarem un exemple concret. Per això, primer de tot, cal que exposem algunes nocions essencials i els conceptes bàsics de la geometria esfèrica. Tot seguit, justificarem unes fórmules trigonomètriques vàlides per als triangles esfèrics (no ens estendrem a parlar d'altres que no necessitarem aquí): les igualtats de Bessel (grup I), les quals justificarem a partir de les relacions elementals de la trigonometria plana (Figura 2). Aquestes igualtats ens permetran arribar a la solució del problema pràctic plantejat al començament.

GEOMETRIES NO EUCLIDIANES

Una geometria és no euclidiana si aquesta es pot desenvolupar de manera consistent, a partir de la negació d'algun dels cinc postulats d'Euclides; en aquest cas (el de la geometria el·líptica i, en particular, de la g. esfèrica) - entre altres - es nega el cinquè postulat d'Euclides:
(...) per un punt exterior a una "recta" hi passa una única "recta" paral·lela a la donada. , afirmant que: "No hi ha cap recta paral·lela a la donada que passi per un punt exterior a una "recta" donada (geometria el·líptica [Riemann]).

Abans de continuar amb aquesta introducció, cal fer precisió sobre el concepte de "recta" (per això ho podem llegir, aquí, entre cometes): cal entendre per "recta" en una superfície donada (no necessàriament plana - euclidiana -) la corba de longitud mínima que uneix dos punts de la superfície; aquesta corba s'anomena geodèsica i, de seguida, en parlarem amb més detall.

Un altre tipus de geometria no euclidiana n'és la geometria hiperbòlica [Bolyai (1775-1855), Lobachevsky (1792-1856), Gauss (1777-1855)] que nega el cinquè postulat, afirmant que hi ha, no una sola, ans infinites "rectes" paral·leles que passen per un punt exterior a la "recta" donada.

GEOMETRIA DE LA SUPERFÍCIE ESFÈRICA:

Hem vist que la geometria de la superfície d'una esfera és un cas concret de geometria no euclidiana; és un cas particular de geometria el·líptica [un cas particular de g. de Riemann (1826-1866)] que, en particular, en el cas de l'esfera, s'anomena geometria esfèrica. No obstant això, les fórmules de les que parlarem continuen deduint-se a partir de la mètrica euclidiana. No aprofundirem per tant en la geometría no euclidiana de l'esfera.

En una esfera, anomenem cercle màxim a la secció que s'obté en intersectar un que passi pel centre de l'esfera amb la superfície d'aquesta. Un triangle esfèric és, doncs, la intersecció de tres circumferències corresponents als respectius cercles màxims.

Considerarem un triangle esfèric, com ara el triangle $ABC$ (Figura 1). Els punts $A$, $B$ i $C$ s'anomenen vèrtexs del triangle esfèric, i els costats $a$, $b$ i $c$ són els costats del mateix que, donat que representen arcs de circumferència, els podem mesurar donant la magnitud del seu angle central. Per altra banda, els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ corresponen als angles que formen els plans que tallen l'esfera i passen pel seu centre:
$\alpha \equiv \angle (OAC, OAB)$
$\beta \equiv \angle (OBC, OAB)$
$\gamma \equiv \angle (OAC, OBC)$

Els costats d'aquest triangle (esfèric) són arcs de cercles màxims. Una propietat elemental a remarcar és la que fa referència a la suma dels angles d'un triangle esfèric: $\alpha + \beta + \gamma \ge 180º$, un símptoma clar que aquesta geometria ja no és la euclidiana.

Donada una superfície, anomenem geodèsica a la corba que uneix dos punts de la mateixa pel camí més curt possible. En una esfera, aquesta corba és el contorn del cercle màxim (circumferència) que passa per tots dos punts.

LES FÓRMULES DE BESSEL (GRUP I) SOBRE ELS TRIANGLES ESFÈRICS

Analitzant acuradament el triangle esfèric de la Figura 2 deduirem un conjunt de tres fórmules que expressen una relació entre els costats del triangle ($a$, $b$ i $c$) i els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$) i que ens permetran resoldre el problema plantejat al començament de l'escrit. Val a dir que aquestes tres igualtats [grup I de Bessel (Friedrich Bessel, 1784-1846] no són pas les úniques relacions que es poden deduir; aquí - per tal de no estendre'ns en excés - tan sols farem ús de les que necessitem.

Observem (Figura 2) que
$\overline{OT}=\overline{OM}+\overline{MT} \quad \quad (1)$

Figura 2

Representació del triangle esfèric ABC. El sistema de referència, format per l'origen de coordenades $O$ (situat al centre de l'esfera) i els eixos perpendiculars $Ox$, $Oy$ i $Oz$, configura el triedre de plans perpendiculars Oxy, Oxz i Oyz. Hem girat convenientment el sistema de referència per tal que - no hi ha pèrdua de validesa en això - un dels vèrtexs del triangle esfèric es trobi damunt d'un dels tres eixos (en el cas de la figura, el vèrtex $C$ es troba damunt l'eix Oy) i un dels costats del triangle es trobi damunt d'un dels plans (en el cas de la figura, el costat $a$ es troba damunt del pla Oxy.

Tenint en compte els triangles rectangles plans
$\triangle{OMR}$
i
$\triangle{RNS}$
podem escriure les raons trigonomètriques de l'angle $a$

$\cos{a}=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OR}}$
i
$\sin{a}=\dfrac{\overline{MT}}{\overline{RS}}$

substiuint aquestes expressions a (1) trobem
$\overline{OT}=\overline{OR}\cdot \cos{a}+\overline{RS}\cdot \sin{a} \quad \quad (1')$

per altra banda, dels triangles $\triangle{OTA}$, $\triangle{ORA}$ i $\triangle{RSA}$, podem escriure
$\cos{b}=\dfrac{\overline{OT}}{\overline{OA}}$
$\cos{c}=\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OA}}$
$\sin{c}=\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RO}}$
i
$\cos{\beta}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{RA}}$
on $\beta$ designa l'angle $\angle(SRA)$

llavors, la igualtat (1') es pot escriure de la forma
$\overline{OA} \cdot \cos{(b)}=\overline{OA} \cdot \cos{(c)}\,\cos{(a)}+\overline{OA} \cdot \sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)}$
i, simplificant, arribem a una de les tres igualtats de la trigonometria esfèrica
grup I de Bessel que es coneix com a grup I de Bessel:

$\cos{(b)}=\cos{(c)}\,\cos{(a)}+\sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)} \quad \quad (I1)$

Si permutem els costats (i angles) de la fórmula, podem escriure dues relacions més

$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)} \quad \quad (I2)$
$\cos{(c)}=\cos{(a)}\,\cos{(b)}+\sin{(a)}\,\sin{(b)}\,\cos{(\gamma)} \quad \quad (I3)$

CÀLCUL DE LA LONGITUD DE L'ARC DE GEODÈSICA DAMUNT D'UNA ESFERA

Quan ens referim a la superfície de la Terra, es coneix també com a problema del càlcul de la longitud de l'ortodròmica (Navegació) al problema que, ara, resoldrem fent ús del que s'ha dit anteriorment.

Recordem l'enunciat del problema plantejat al començament de l'escrit:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Entendrem que, aquí, en aquest problema, els vèrtexs del triangle esfèric (figures 1 i 2) tenen els següent significat:

    Fem coincidir $A$ amb el Pol Nord geogràfic

    El vèrtex $B$ correspon al punt de la trajectòria ortodròmica $P_{1}(l_1,L_1)$ (un dels extrems de la geodèsica)

    El vèrtex $C$ correspon al punt $P_{2}(l_2,L_2)$ (l'altre extrem de la geodèsica)

    El costat $a$ representa representa la longitud del camí entre els dos extrems de la geodèsica (distància mínima entre tots dos punts) que anomenarem $s$ (longitud de l'ortodròmica entre aquest dos punts). El valor de la magnitud de $s$ entre els dos punts $P_1$ I $P_2$, la trobarem, primer, expressada en unitats angulars, per bé que, al final, la convertirem a unitats de longitud, tenint en compte l'equivalència entre les untitats angulars d'arc de circumferència de cercle màxim - és a dir, de meridià (geodèsica de la superfície d'una esfera) - i les unitats de longitud d'arc.

Llavors, partint de la igualtat (I2)
$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)}$
i tenint en compte el significat concret dels elements del triangle que acabem d'explicar quan el vèrtex $A$ el fem coincidir amb el Pol Nord cal escriure:
$b=90º-l_1$ i, per tant, $\cos{(b)}=\sin{(l_1)}$   i   $\sin{(b)}=\cos{(l_1)}$
$c=90º-l_2$ i, per tant, $\cos{(c)}=\sin{(l_2)}$   i   $\sin{(c)}=\cos{(l_2)}$

Per altra banda, $\alpha$ representa la diferència de longituds entre els dos extrems del camí $P_1$ i $P_2$
és a dir
$\alpha=\left|L_1-L_2\right|$, que anomenarem $\Delta \, L$

A partir de tot això ja tenim el càlcul a punt:
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$

Tindrem en compte que el valor de la latitud d'un punt sobre la superfície de l'esfera és positiu si el punt es troba a l'hemisferi Nord; i negatiu, si es troba a l'hemisferi Sud. No cal dir que la coordenada de longitud (el valor de $L$) cal donar-les també amb el signe corresponent (positiva si es troba a l'Est del meridià zero, i negativa si es troba a l'Oest d'aquest meridià de referència).

Per acabar, i anomenant $k$ al valor del segon membre de la igualtat anterior [ $\cos{s}=k$ ($-1 \le k \le 1$ ] trobarem el valor de $s$ fent ús de la recíproca de la funció cosinus:
$s = \arccos{k}$ (prenent valors entre 0º i 360º)

Per calcular la longitud d'arc de cercle màxim entre dos punts (del camí sobre la geodèsica) en unitats de longitud, tindrem en compte que $1'$ d'arc de meridià terrestre [ la longitud d'un meridià és igual a la de la circumferència d'un cercle màxim ] equival a $1 \, \text{milla \, nàutica}$   ( $1 \, \text{milla \, nàutica} \approx 1\,852 \, m$ ).

EXEMPLE:

Enunciat:
Determineu la distància sobre la geodèsica $s$ entre els punts:
$P_1$, de coordenades $l_1=-5º \, \text{S}$, $L_2=40º \, \text{E}$
i
$P_2$, de coordenades $l_1=45º \, \text{N}$, $L_2=60º \, \text{W}$

Resolució:
Tenint en compte que $\Delta L = |40º-(60º)|= 100º$
així com les dades de les latituds, la fórmula de Bessel
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$
ens dóna el següent valor
$\cos{(s)}=\sin{(-5º)}\,\sin{(45º)}+\cos{(-5º)}\,\cos{(45º)}\,\cos{(100º)}$
és a dir
$\cos{(s)}\approx -0,1839$
per tant
$s = \arccos{(-0,1839)} \approx 100,5999º$
i convertint a minuts d'arc de meridià (de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) multiplicant per $60$ (minuts que té cada grau) trobem
$s \approx 6036 \,'$
i com que $1'$ d'arc de meridià (i, en general, de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) equival a $1 \, \text{milla nàutica}$
el camí entre els dos punts té una longitud de $6036 \, \text{milles \, nàutiques}$
Si ho volem expressar en quilòmetres, cal recordar que $1' \, \text{(d'arc de meridià)} = 1 \, \text{milla nàutica} \approx 1\,852 \, \text{m} $
per tant
$s \approx 11\,179 \, \text{km}$

-oOo-

Nota sobre la notació:
La latitud, $l$, també se sol notar amb la lletra grega $\delta$; y la longitud, $L$, amb la lletra grega $\varphi$.

$\diamond$