El teorema del seno (o de los senos) de la trigonometría esférica

En este artículo voy a hablar de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica.

Un triángulo esférico es el que forman tres segmentos de circunferencias máximas en la superficie de una esfera. Sea un triángulo esférico como el de la figura. En este artículo voy a justificar el teorema del seno, uno de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

Hay que recordar que en un triángulo esférico los lados del mismo, $a,b$ y $c$, son arcos de circunferencias máximas y por tanto dichas magnitudes son angulares. Tomaremos la unidad como longitud arbitraria del radio de la esfera, esto es $OA=OB=OC=1$. Como se indica en la figura, los vértices del triángulo esférico son $A,B$ y $C$; y los ángulos entre los lados, con vértice en dichos puntos, son, respectivamente, $\hat{A}$, $\hat{B}$ y $\hat{C}$. El centro de la esfera es $O$.

Comienzo trazando desde $A$ el segmento de recta perpendicular a la recta que pasa por $O$ y por el vértice $B$ del triángulo esférico, el cual interseca en el punto $I$; también, desde $A$ trazo el segmento de recta, perpendicularmente, a la recta que pasa por $O$ y por el vértice del triángulo esférico $C$. Hecho ésto, y también desde $A$ trazo el segmento rectilíneo perpendicular al plano que contiene los puntos $O,C$ y $B$, y que lo intersaca en el punto $J$; denoto este segmento por $[A,J]$, indicando por tanto la medida de su longitud como $AJ$.

Del triángulo rectángulo plano $\triangle{OAH}$ podemos escribir que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{HOA}$, y como este ángulo es igual al lado, $b$, del triángulo esférico, teniendo en cuenta que $OA=1$, nos queda $$AH=\sin\,b \quad (1)$$ Haciendo lo mismo con el triángulo rectángulo plano $\triangle{OAI}$, se tiene que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{AIO}$, pero este ángulo es igual al lado, $c$, del triángulo esférico, luego podemos escribir $$AI=\sin\,c \quad (2)$$

Por otra parte, el trazar $AJ$ se forman dos triángulos rectánulos planos: $\triangle{AJH}$ y $\triangle{AIJ}$. Del primero, se tiene que $AJ=AH\cdot \sin\,\widehat{CHA}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{C}$ que forman los lados $a$ y $b$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AH\cdot \sin\,\hat{C} \quad (3)$$ Y del segundo triángulo rectángulo, se cumple que $AJ=AI\cdot \sin\,\widehat{AIJ}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{B}$ que forman los lados $a$ y $c$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AI\cdot \sin\,\hat{B} \quad (4)$$

Sustituyendo ahora $(1)$ en $3)$ y $(2)$ en $(4)$ se llega a $$\sin\,b \cdot \sin \, \hat{C}=\sin\,c \cdot \sin\, \hat{B} \quad (5) $$ y por consiguiente $$\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} \quad (5')$$

Haciendo una construcción análoga tomando como vértice superior del triángulo esférico $C$ llegaríamos fácilmente a una relación similar: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b} \quad (5'')$$ Así que de $(5')$ y $(5'')$ se deduce de manera inmediata la triple igualdad propuesta: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} $$

$\diamond$