El teorema de los cosenos en trigonometría esférica

En el artículo precedente hablaba de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica; en éste, utilizando la misma notación, voy a hablar de la extensión del teorema del coseno, que es otro de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\cos\,a=cos\,b\cdot \cos\,c+\sin\,b\cdot \sin\,c\cdot \cos\,\hat{A}$$

En esta figura se representa un triángulo esférico y un sistema de referencia cartesiano con origen, $O$, situado en el centro de la esfera, con radio igual a la unidad de longitud, y con una base ortonormal de vectores, que, en concreto, es la b. canónica, $\{\hat{i}=(1,0,0)\,,\,\hat{j}=(0,1,0)\,,\,\hat{k}=(0,0,1)\}$.

Sin pérdida de generalidad del resultado que se va a obtener, se ha hecho coincidir el eje $x$ con la dirección de la proyección del vector de posición del vértice $C$ del triángulo esférico, esto es, $\vec{\text{proy}}_{Oxy}\,(\vec{r}_C)$ tiene la misma dirección que el versor $\hat{i}$.

A la derecha de la figura se recuerda cómo describir un punto en el espacio tridimensional, $P$, a partir de sus coordenadas cartesianas, $P(x,y,z)$, y, también, mediante las coordenadas esféricas, $P(r,\varphi,\theta)$, que son las coordenadas naturales a la hora de operar en una esfera. La relación entre las coordenas esféricas y las cartesianas es la siguiente: $$P:\left\{\begin{matrix}x&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \cos\,\varphi \\y&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \sin\,\varphi \\ z&=&r\,\cos\,\theta \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Si bien, la geometría de la esfera es uno de los ejemplos de geometría no euclídea, estas fórmulas que extienden los resultados de la trigonometría plana nos sirven para resolver triángulos esféricos, y surgen en realidad de la misma geometría euclídea, pues, como voy a mostrar, para deducir en particular la de los cosenos, utilizaré el producto escalar euclídeo entre vectores; así que, dichas fórmulas no son ajenas a la métrica euclídea. Recordemos que en un triángulo esférico, los lados son arcos de círculos máximos (geodésicas en la superfície de una esfera entre dos puntos, que corresponden a los vértices del triángulo esférico), y que la magnitud que corresponde a la distancia entre dos puntos de la esfera sobre la geodésica que los une es de naturaleza angular.

Describo a continuación, de acuerdo con $(1)$, las coordenadas vectoriales de los vectores de posición de cada uno de los vértices $A,B$ y $C$ del triángulo esférico: $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C\cdot \cos\,\varphi_C\,, \,\sin\,\theta_C\cdot \sin\,\varphi_C, \cos\,\theta_C) \end{matrix}$$ Nótese que los módulos de dichos vectores son igual a $1$, puesto que señalan todos ellos a puntos de la superfície de la esfera de radio unidad. Además, hay que tener en cuenta que $\varphi_C=0$ ya que, como se ha convenido, la proyección del vector de posición de $C$ cae encima el eje $Ox$, luego $\cos\,\varphi_C=\cos\,0=1$ y $\sin\,\varphi_C=\sin\,0=0$, con lo cual se tiene que $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C,0,\cos\,\theta_C) \end{matrix}$$

A continuación, vemos que el producto escalar euclídeo de $\vec{r}_B$ por $\vec{r}_C$ es, por las dos definiciones equivalentes del mismo: $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix} \sin\,\theta_B\cdot\cos\,\varphi_B\cdot\sin\,\theta_C+0+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C \\ \left\|\vec{r}_B\right\|\cdot \left\|\vec{r}_C\right\|\cdot \cos\,\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)} \end{matrix}\right.$$ Ahora bien, hay que tener en cuenta que (véase la figura): $\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)}=a$, y recordemos que los vectores de posición de los vértices del triángulo tienen módulo igual a $1$, $\left\|\vec{r}_B\right\|=\left\|\vec{r}_C\right\|=1$, por consiguiente $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix}\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C\\ \cos\,a \end{matrix}\right.$$ con lo cual tiene que cumplirse que $$\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot \cos\,\theta_C=\cos\,a$$ Por otra parte, hay que darse cuenta (figura) de que: $\varphi_B=\hat{A}$, $\theta_B=c$ y $\theta_C=b$, con lo cual la ecuación anterior puede escribirse de la forma $$\sin\,c\cdot \cos\,\hat{A} \cdot \sin\,b+\cos\,c\cdot\cos\,b=\cos\,a$$ o lo que es lo mismo, $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ Comentario:
Haciendo un desarrollo análogo, haciendo coincidir los vectores de posición de $B$ (y, respectivamente, de $C$) con el eje $Oz$, se deducen las otras dos relaciones del teorema: $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ y $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

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