Elementos para el aprendizaje de la navegación astronómica y la navegación de altura

Elementos básicos en la navegación de altura:
1. Navegación Astronómica
   • Esfera celeste: Línea vertical o cenit nadir. Horizonte racional o verdadero. Distintas clases de horizontes. Semicírculo vertical. Almicantarat. Eje del mundo o líneas de los polos, Ecuador celeste, etc.
   • Coordenadas celestes de los astros: Coordenadas horizontales: Altura y azimut. Distintas formas de contar el azimut. Distancia cenital. Amplitud. Coordenadas horarias. Distancia polar o codeclinación. Diferencia ascensional. Movimiento propio de algunos astros. Estudio del movimiento aparente del sol. Eclíptica, Zodíaco, etc.
   • Triángulo de posición: Sus elementos. Valor del ángulo en el polo en función del horario en el lugar. Valor del ángulo en el cenit en función del azimut.
   • Movimiento aparente de los astros: Generalidades. Arcos diurno y nocturno. Ortos y ocasos. Paso de los astros por el meridiano superior e inferior del lugar.
   • La Luna: Periodo y fases de la Luna.
   • Las Estrellas: Magnitud estelar. Constelaciones. Enfilaciones para encontrar las estrellas principales partiendo de la constelación de la Osa Mayor, Orión, Escorpión, Pegaso, Cruz del Sur. Catálogos y planisferios. Buscador de estrellas (Star Finder). Software de simulación del cielo nocturno (Cartes du Ciel, Stellarium, Sky View, ...)
   • La medida del tiempo: Diferencia de hora entre dos lugares. Hora reducida. Husos horarios. Hora legal, hora inicial. Relación entre hora civil del lugar, hora legal. Línea internacional de cambio de fecha, …
   • El Almanaque Náutico: Descripción del almanaque : Conocida la hora de TU, calcular el horario del Sol en Greenwich y su declinación, pasar de horario en Gw a horario en lugar y viceversa, …
   • El sextante: Descripción Lectura de su graduación. Corrección de índice, observación de la altura de un astro con el sextante: Sol, planeta o estrella, corrección de las alturas observadas, cálculo de las coordenadas, …
   • Reconocimiento de astros: Conocidos la situación de estima del observador, la hora de TU de la observación, la altura y el azimut del astro desconocido, hallar su horario, su declinación y reconocerlo.
   • Determinación de la posición. Recta de altura: Sus determinantes. Casos particulares de la recta de altura. Latitud por altura, meridiana de un astro, por altura de la estrella Polar. Utilidad de una sola recta de altura, etc.
   • Situación por rectas de altura: Situación por dos rectas de altura simultáneas, por dos rectas y tres de altura no simultáneas, calcular el intervalo hasta el paso de un astro por el meridiano del buque en movimiento,…
   • Las representaciones de la Tierra: Proyecciones. Idea de la proyección mercatoriana. Escala de las cartas. Clasificación según la escala y la proyección gnomónica, …
   • Derrota loxodrómica: Ecuación de la loxodrómica. Cálculo del problema directo e inverso de la estima empleando latitudes aumentadas.
   • Derrota ortodrómica: Concepto general. Cálculo del rumbo ortodrómico. Cálculo de la distancia ortodrómica entre dos puntos de la esfera terrestre.
   • Navegación con posicionador satelital: GPS. Generalidades, descripción y funcionamiento.
   • Publicaciones náuticas esenciales: Amanaque Náutico. Anuario de Mareas. Libro de faros y señales de niebla. Derroteros. Cartas náuticas. Libro de señales radioléctricas. Reglamento de prevención de abordajes (RIPA). Pilot charts, etcétera
-oOo- Lo siguiente, como complementario -pero no menos importante-, también hay que considerarlo:
1. Encuentros en altamar con otros barcos. Cinemática:
   • Movimiento absoluto y relativo. Triángulo de velocidades. Rosa de maniobra. Estudio del movimiento relativo de otro buque, …
   • Movimiento absoluto y relativo. Triángulo de velocidades. Rosa de maniobra. Estudio del movimiento relativo de otro buque, …
   • El Radar: Fundamentos del radar. Descripción y funcionamiento. Interpretación de la pantalla. Marcaciones y demoras. Medición de distancias. Zonas de sombra. Ecos falsos. Radar de movimiento verdadero. Empleo práctico.
   • VHF
   • AIS
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2. Sistemas y dispositivos de comunicación y obtención de información diversa (meteorológica, alertas, etcétera) que operan a larga (o muy larga) distancia:
   • BLU
   • NAVTEX
   • Teléfonos y otros dispositivos de envío y recepción de mensajes digitales que funcionan por medio de satélites y que, en principio, son de cobertura global
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1. Magnetismo terrestre
   • Magnetismo terrestre: Elementos magnéticos terrestres. Distribución.
   • Desvío de la aguja magnética: Causas que la producen. Campos magnéticos que actúan sobre la aguja a bordo. Determinación de los desvíos por marcaciones a un objeto lejano y por marcaciones al Sol u otros astros, …
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Un ejemplo de aplicación de uso del radar. Un ejercicio de velocidad relativa

Una embarcación $A$ navega hacia el Este a una velocidad de $10$ nudos. El patrón de otra embarcación, $B$, que navega con rumbo $030^\circ$ (esto es, $\text{N}\,30^\circ\,\text{E}$), quiere calcular a qué velocidad debe navegar para que en la pantalla de radar de la embarcación $A$ vean, en todo momento, que su embarcación desplaza hacia el Norte?

Representando los vectores de velocidad $\vec{v_A}$, $\vec{v_B}$ y el vector de velocidad relativa de $B$ con respecto a $A$ ($\vec{v_r}=\vec{v_B}-\vec{v_A}$) en las condiciones expuestas en el enunciado, se configura el siguiente triángulo vectorial, que, en nuestro caso es un triángulo rectángulo:

Entonces, como el módulo de $\vec{v_A}$ es $\left\|\vec{v_A}\right\|=10$ nudos (que designaremos por, por comodidad, por $v_A$), el módulode $\vec{B}$ (que designaremos por $v_B$) ha de cumplir que $\dfrac{10}{v_B}=\cos(90^\circ-30^\circ)$, esto es,
  $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\cos(60^\circ)}$
    $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}$
      $\dfrac{v_B}{10}=2$
        $v_B=2\cdot 10$
          $v_B=20$ nudos
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L'arc de Sant Martí després de la pedregada

Port de Torredembarra, abril de 2024

Uso de las fórmulas del triángulo de altura para obtener los parámetros de una recta de altura. Situación mediante dos rectas de altura

En una fecha y hora determinada, conociendo la situación estimada del observador/embarcación, $(\lambda_e\,,\,\varphi_e)$, para poder trazar una recta de altura en una carta (o en una carta en blanco) a partir de la observación de un cierto astro $A$ a la hora $TU$ de la observación, necesitamos medir con el sextante la altura verdadera, $a_v$, de dicho astro; y, además, necesitamos calcular la altura estimada, $a_e$, que es la altura que mediríamos del astro si, realmente, estuviésemos en la situación estimada, al objeto de poder calcular el determinante del astro, que viene dado por la diferencia entre la altura verdadera que hemos medido y la altura estimada que hemos calculado, $\Delta:=|a_v-a_e|$. También necesitamos calcular el azimut $\hat{Z}$ del astro. La recta de altura es la recta perpendicular a la semirrecta azimutal que partiendo del punto de la situación estimada dista de éste una distancia $\Delta$.

El horario local del astro (ángulo en el polo $\hat{P}$) y su declinación, $\delta$, se obtienen de la consulta del Almanaque Náutico del año en curso, teniendo en cuenta la latitud de la situación estimada $\lambda_e$. Hecho ésto, habremos resuelto el triángulo de altura. Véanse para ello las fórmulas que se han justificado en el artículo precedente, para, en concreto, poder obtener la altura estimada $a_e$ y el azimut del astro, $Z$, obteniendo así los parámetros de la recta de altura: $\Delta$ y $\hat{Z}$. Véase también la leyenda de la figura para ver la relación entre las coordenadas horarias y las coordenadas uranográficas ecuatoriales.

Es evidente que con una sóla recta de altura no es suficiente para obtener la situación del observador, pues al haber dibujado la recta, dicha situación que buscamos puede ser cualquier punto de la misma (y hay infinitos puntos en una recta). Así que, por lo menos, necesitaremos realizar la observación de un segundo astro y trazar una segunda recta de altura: el punto de intersección correspondera a la situación del observador. Nota: la segunda recta de altura la podemos haber tomado mediante la observación del mismo astro horas más tarde que en la primera observación, trasladando por estima la primera recta de altura.

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Fórmulas para resolver el triángulo de altura en navegación astronómica

Recordemos que el teorema del coseno para triángulos esféricos de vértices $A,B$ y $C$ afirma que $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

Y se ha visto también que el teorema del seno afirma: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

La navegación astronómica hace uso de esos importantes resultados para resolver el llamdo triángulo de altura, en el que el vértice $A$ se sitúa en uno de los dos polos de la esfera celeste (constructo abstracto con radio arbitrario, en particular, igual a la unidad de longitud), por lo que lo renombramos con la letra $P$ (de polo), con lo cual el lado enfrentado a $P$ podemos pasar a renombrarlo con la letra $p$. Por otra parte, el vértice $B$, lo renombraremos con la letra $Z$, pues convenimos que éste corresponde al Azimut (punto de la esfera celeste que está alineado con el centro de la misma y la posición del observador en la superficie de la Tierra), y a $C$ lo renombraremos con la letra $A$, pues convenimos que corresponde a la posición del astro con el que el observador está trabajando.

Por el convenio de notación estándar de los triángulos esféricos, conviene renombrar el lado $b$ con la letra $z$, y al lado $c$ con la letra $a$

Con esta nueva notación tendremos: $$\cos\,p=\cos\,a\cdot \cos\,z+\sin\,a \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{P}$$ $$\cos\,z=\cos\,\delta\cdot \cos\,a+\sin\,\delta \cdot \sin\,a \cdot \cos\,\hat{Z}$$ $$\cos\,a=\cos\,p\cdot \cos\,z+\sin\,p \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\sin\,p}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\sin\,z}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}$$

Así las cosas, $\hat{Z}$ representa el azimut del astro; $\hat{P}$ es el llamdo ángulo en el polo, que, como veremos viene a ser el ángulo horario local del astro, y $\hat{A}$ es el llamado ángulo paraláctico. Además, como puede apreciarse en la Figura 2, $p=90^\circ - a_e$ (distancia cenital), siendo $a_e$ la altura sobre el horizonte del astro, que calculamos a partir de una posición de latitud estimada, $\lambda_e$, de la posición del observador; $c=90^\circ - \lambda_e$ (colatitud), siendo $\lambda_e$ la latitud estimada del observador, y $z=90^\circ -\delta$ (codeclinación), donde $\delta$ es la declinación (coordena ecuatorial) del astro en el instante de la observación.

Teniendo en cuenta ahora que, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares, y que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario, y, recíprocamente, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, las fórmulas anteriores se escriben ahora de la siguiente manera:

$$\sin\,a_e=\sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P} \quad (1)$$ $$\sin\,\delta=\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e+cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{Z} \quad (2)$$ $$\sin\,\lambda_e=\sin\,a_e \cdot \sin\,\delta+\cos\,a_e \cdot \cos\,\delta \cdot \cos\,\hat{A} \quad (3)$$ y $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\cos\,a_e}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\cos\,\delta}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\cos\,\lambda_e} \quad (4)$$

De $(4)$ y, habiendo calculado la altura estimada $a_e$, y conociendo el ángulo en el polo entre el astro y el Azimut del observador, así como la declinación del astro, podemos pues calcular el azimut del astro: $$\sin\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \quad (4')$$ con lo cual $$\hat{Z}=\text{arcsin}\,\left( \dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \right) \quad (4'')$$

También podemos calcular $\hat{Z}$, despejando directamente de $(2)$: $$\cos\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \quad (2')$$ por lo tanto $$\hat{Z}=\text{arccos}\left(\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \right) \quad (2'')$$

También es útil la siguiente fórmula (llamada de la cotangente), que permite calcular directamente $\hat{Z}$ sin tener que haber calculado préviamente la altura estimada $a_e$: $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}}-\dfrac{\sin\,\lambda_e}{\tan\,\hat{P}} \quad (5)$$ Para justificarla, partimos de $(2')$ y $(4')$; dividiendo, miembro a miembro, la primera entre la segunda, se llega a $$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\dfrac{\sin\,\delta -\sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\cos\,\lambda_e \cdot \cos \,a_e}}{\dfrac{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e}}=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e}$$ y teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\sin\,\delta - ( \sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}) \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos \delta}$
  $=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}-\sin^2\,\lambda_e\cdot \sin\,\delta}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
    $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot (1-\sin^2\,\lambda_e) - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
      $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot \cos^2\,\lambda_e - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
        $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos^2\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} $
          $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} } $
            $=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} } $
y teniendo en cuenta que $\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=:\text{cotan}\,\hat{Z}$ se llega a lo que queríamos justificar $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} }$$

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El teorema de los cosenos en trigonometría esférica

En el artículo precedente hablaba de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica; en éste, utilizando la misma notación, voy a hablar de la extensión del teorema del coseno, que es otro de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\cos\,a=cos\,b\cdot \cos\,c+\sin\,b\cdot \sin\,c\cdot \cos\,\hat{A}$$

En esta figura se representa un triángulo esférico y un sistema de referencia cartesiano con origen, $O$, situado en el centro de la esfera, con radio igual a la unidad de longitud, y con una base ortonormal de vectores, que, en concreto, es la b. canónica, $\{\hat{i}=(1,0,0)\,,\,\hat{j}=(0,1,0)\,,\,\hat{k}=(0,0,1)\}$.

Sin pérdida de generalidad del resultado que se va a obtener, se ha hecho coincidir el eje $x$ con la dirección de la proyección del vector de posición del vértice $C$ del triángulo esférico, esto es, $\vec{\text{proy}}_{Oxy}\,(\vec{r}_C)$ tiene la misma dirección que el versor $\hat{i}$.

A la derecha de la figura se recuerda cómo describir un punto en el espacio tridimensional, $P$, a partir de sus coordenadas cartesianas, $P(x,y,z)$, y, también, mediante las coordenadas esféricas, $P(r,\varphi,\theta)$, que son las coordenadas naturales a la hora de operar en una esfera. La relación entre las coordenas esféricas y las cartesianas es la siguiente: $$P:\left\{\begin{matrix}x&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \cos\,\varphi \\y&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \sin\,\varphi \\ z&=&r\,\cos\,\theta \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Si bien, la geometría de la esfera es uno de los ejemplos de geometría no euclídea, estas fórmulas que extienden los resultados de la trigonometría plana nos sirven para resolver triángulos esféricos, y surgen en realidad de la misma geometría euclídea, pues, como voy a mostrar, para deducir en particular la de los cosenos, utilizaré el producto escalar euclídeo entre vectores; así que, dichas fórmulas no son ajenas a la métrica euclídea. Recordemos que en un triángulo esférico, los lados son arcos de círculos máximos (geodésicas en la superfície de una esfera entre dos puntos, que corresponden a los vértices del triángulo esférico), y que la magnitud que corresponde a la distancia entre dos puntos de la esfera sobre la geodésica que los une es de naturaleza angular.

Describo a continuación, de acuerdo con $(1)$, las coordenadas vectoriales de los vectores de posición de cada uno de los vértices $A,B$ y $C$ del triángulo esférico: $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C\cdot \cos\,\varphi_C\,, \,\sin\,\theta_C\cdot \sin\,\varphi_C, \cos\,\theta_C) \end{matrix}$$ Nótese que los módulos de dichos vectores son igual a $1$, puesto que señalan todos ellos a puntos de la superfície de la esfera de radio unidad. Además, hay que tener en cuenta que $\varphi_C=0$ ya que, como se ha convenido, la proyección del vector de posición de $C$ cae encima el eje $Ox$, luego $\cos\,\varphi_C=\cos\,0=1$ y $\sin\,\varphi_C=\sin\,0=0$, con lo cual se tiene que $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C,0,\cos\,\theta_C) \end{matrix}$$

A continuación, vemos que el producto escalar euclídeo de $\vec{r}_B$ por $\vec{r}_C$ es, por las dos definiciones equivalentes del mismo: $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix} \sin\,\theta_B\cdot\cos\,\varphi_B\cdot\sin\,\theta_C+0+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C \\ \left\|\vec{r}_B\right\|\cdot \left\|\vec{r}_C\right\|\cdot \cos\,\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)} \end{matrix}\right.$$ Ahora bien, hay que tener en cuenta que (véase la figura): $\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)}=a$, y recordemos que los vectores de posición de los vértices del triángulo tienen módulo igual a $1$, $\left\|\vec{r}_B\right\|=\left\|\vec{r}_C\right\|=1$, por consiguiente $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix}\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C\\ \cos\,a \end{matrix}\right.$$ con lo cual tiene que cumplirse que $$\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot \cos\,\theta_C=\cos\,a$$ Por otra parte, hay que darse cuenta (figura) de que: $\varphi_B=\hat{A}$, $\theta_B=c$ y $\theta_C=b$, con lo cual la ecuación anterior puede escribirse de la forma $$\sin\,c\cdot \cos\,\hat{A} \cdot \sin\,b+\cos\,c\cdot\cos\,b=\cos\,a$$ o lo que es lo mismo, $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ Comentario:
Haciendo un desarrollo análogo, haciendo coincidir los vectores de posición de $B$ (y, respectivamente, de $C$) con el eje $Oz$, se deducen las otras dos relaciones del teorema: $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ y $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

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El teorema del seno (o de los senos) de la trigonometría esférica

En este artículo voy a hablar de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica.

Un triángulo esférico es el que forman tres segmentos de circunferencias máximas en la superficie de una esfera. Sea un triángulo esférico como el de la figura. En este artículo voy a justificar el teorema del seno, uno de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

Hay que recordar que en un triángulo esférico los lados del mismo, $a,b$ y $c$, son arcos de circunferencias máximas y por tanto dichas magnitudes son angulares. Tomaremos la unidad como longitud arbitraria del radio de la esfera, esto es $OA=OB=OC=1$. Como se indica en la figura, los vértices del triángulo esférico son $A,B$ y $C$; y los ángulos entre los lados, con vértice en dichos puntos, son, respectivamente, $\hat{A}$, $\hat{B}$ y $\hat{C}$. El centro de la esfera es $O$.

Comienzo trazando desde $A$ el segmento de recta perpendicular a la recta que pasa por $O$ y por el vértice $B$ del triángulo esférico, el cual interseca en el punto $I$; también, desde $A$ trazo el segmento de recta, perpendicularmente, a la recta que pasa por $O$ y por el vértice del triángulo esférico $C$. Hecho ésto, y también desde $A$ trazo el segmento rectilíneo perpendicular al plano que contiene los puntos $O,C$ y $B$, y que lo intersaca en el punto $J$; denoto este segmento por $[A,J]$, indicando por tanto la medida de su longitud como $AJ$.

Del triángulo rectángulo plano $\triangle{OAH}$ podemos escribir que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{HOA}$, y como este ángulo es igual al lado, $b$, del triángulo esférico, teniendo en cuenta que $OA=1$, nos queda $$AH=\sin\,b \quad (1)$$ Haciendo lo mismo con el triángulo rectángulo plano $\triangle{OAI}$, se tiene que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{AIO}$, pero este ángulo es igual al lado, $c$, del triángulo esférico, luego podemos escribir $$AI=\sin\,c \quad (2)$$

Por otra parte, el trazar $AJ$ se forman dos triángulos rectánulos planos: $\triangle{AJH}$ y $\triangle{AIJ}$. Del primero, se tiene que $AJ=AH\cdot \sin\,\widehat{CHA}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{C}$ que forman los lados $a$ y $b$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AH\cdot \sin\,\hat{C} \quad (3)$$ Y del segundo triángulo rectángulo, se cumple que $AJ=AI\cdot \sin\,\widehat{AIJ}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{B}$ que forman los lados $a$ y $c$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AI\cdot \sin\,\hat{B} \quad (4)$$

Sustituyendo ahora $(1)$ en $3)$ y $(2)$ en $(4)$ se llega a $$\sin\,b \cdot \sin \, \hat{C}=\sin\,c \cdot \sin\, \hat{B} \quad (5) $$ y por consiguiente $$\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} \quad (5')$$

Haciendo una construcción análoga tomando como vértice superior del triángulo esférico $C$ llegaríamos fácilmente a una relación similar: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b} \quad (5'')$$ Así que de $(5')$ y $(5'')$ se deduce de manera inmediata la triple igualdad propuesta: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} $$

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