Determinación de la situación geográfica verdadera mediante la intersección de, al menos, dos rectas de altura

El objetivo de la Navegación Astronómica es, básicamente, el de determinar las coordenadas geográficas del navegante o situación verdadera $(\ell,L)$ a una determinada hora HTU, a partir de la medición de la altura de varios astros -por lo menos dos-, realizadas cada una en ellas en las respectivas horas TU, teniendo en cuenta la situación estimada -latitud y longitud estimadas, en dichos momentos $(\widetilde{\ell},\widetilde{L})-$, la cual se habrá obtenido aplicando los procedimientos de la navegación por estima desde la última situación verdadera conocida, sabiendo desde luego cuál ha sido el rumbo y velocidad efectivos de su embarcación hasta el momento de obtener la nueva situación verdadera, para lo cual se suele utilizar el procedimiento analítico de la derrota loxodrómica. Para cada astro observado -dos es, en principio, el número mínimo- determinaremos la correspondiente recta de altura, y, una vez trazadas en una carta en blanco el punto de intersección corresponderá a nuestra situación verdadera. Para poder determinar las rectas de altura necesitaremos resolver los correspondientes triángulos de posición, cuyas magnitudes son las mismas que las de sus triángulos homólogos, los triángulos de altura; y, para ello, será necesario utilizar las fórmulas de Bessel de la trigonometría esférica.

Recta de altura de un astro

La altura de un astro sobre el horizonte verdadero se obtienen mediante el uso del sextante y de las correcciones necesarias a la altura instrumental que leemos en el instrumento, lo cual da lugar a la altura verdadera $a_v$ del mismo en el momento de la observación. Se anota la hora correspondiente de dicha observación con una precisión al segundo. A partir de la hora TU en la que se ha tomado la altura de un astro, el Almanaque Náutica proporciona las coordenadas ecuatoriales del mismo (declinación y ángulo sidéreo), así como el horario en Greenwich del punto vernal de Aries, que es una referencia sidérea en base a la cual podremos calcular el ángulo horario local del astro $$hl_\star=hG_A+AS_\star-\widetilde{L}$$

Con dicho horario local del astro, $hl_\star$, junto con la declinación del astro $d_\star$, obtendremos así dos cantidades esenciales que son los parámetros de la recta de altura; con ellos podremos trazarla en una carta en blanco. Para calcularlos necesitaremos resolver el triángulo de altura cuyos vértices son el polo, el astro y el azimut estimado, tal y como veremos enseguida. Dichos parámetros son la diferencia de altura, $\Delta\,a:=a_v-\widetilde{a}$ y el azimut $\widehat{\widetilde{Z}}$ -no es el mismo azimut que el verdadero, $\widehat{Z}$-. Las cantidades $\widetilde{a}$ y $\widehat{\widetilde{Z}}$ denotan la altura y el azimut calculados en el supuesto de que la observación del astro la hubiésemo hecho desde la situación estimada $(\widetilde{\ell},\widetilde{L})$. Veremos a continuación la razón de ser de estos parámetros determinantes de la recta de altura.

En la esfera celeste sabemos que alrededor del vértice correspondiente al $A$ (astro $\star$) en el triángulo de altura de vértices $P,A$ y $\widetilde{Z})$, se centra la circunferencia de altura (almicantarat), cuyo radio es el complemento a $90^\circ$ de la altura verdadera del mismo -dicha circunferencia de altura es la misma que la que trazamos con centro en el vértice $A$ en el triángulo de altura verdadero de vértices $P,A$ y $Z$-, de manera que la intersección del lado $A\,\widetilde{Z}$ de ese triángulo esférico y de la circunferencia de altura sobre la superficie de la esfera es un punto que designaremos por $T$.

El triángulo esférico que podemos construir en la superficie de la esfera terrestre uniendo el centro de la misma con cada uno de los puntos del triángulo de altura sobre la esfera celeste es el triángulo de posición, puesto que tanto los ángulos como los lados homológos de cada uno de estos dos triángulos esféricos tienen las mismas magnitudes. En el triángulo de posición sobre la superficie de la Tierra, el vértice homólogo al vértice $P$ del triángulo de altura lo designaremos por $p$ -el polo norte terrestre-, el homólogo del zenit estimado del observador $\widetilde{Z}$ en el triángulo de altura lo denotaremos por $\widetilde{z}$ y el homólogo del vértice $A$ del astro lo denotaremos por $a$ (polo de iluminación del astro). Así pues, al igual que en el triángulo de altura, el lado del triángulo de posición enfrentado a $p$ es el complemento a $90^\circ$ de la altura estimada (desde la posición de observación, que es la de la observación astronómica) $90^\circ-\widetilde{a}$; el lado enfrentado a $\widetilde{z}$ es la codeclinación del astro $\star$, $90^\circ-d_\star$, y el lado enfrentado al otro ángulo (paraláctico) es la colatitud estimada, $90^\circ-\widetilde{\ell}$

Pues bien, al realizar una proyección transversal mercatoriana alrededor de $T$, podemos trazar la semirrecta desde el punto que corresponde a la proyección mercatoriana del punto de situación estimada $(\widetilde{\ell},\widetilde{L})$ -dicho punto es la proyección de $\widetilde{A}$- que pose por la proyección de $A$, esto es, formando un ángulo que corresponde al azimut calculado $\widehat{\widetilde{Z}}$. Y, trazando la recta tangente al arco de curva que resulta de la proyección mercatoriana (sobre el plano) de ese lado del triángulo esférico, habremos construido lo que denominamos recta de altura del astro $A$ de Marcq Saint-Hilaire. La distancia angular de $t$ (proyección sobre el plano de $T$) a $\widetilde{z}$ (proyección de $\widetilde{Z}$) es por tanto la diferencia de alturas $$\Delta\,a=(90^\circ-\widetilde{a})-(90^\circ-a_v)=a_v-\widetilde{a}$$

Queda ahora por exponer cómo calculamos los parámetros de la recta de altura, $\Delta\,a=a_v-\widetilde{a}$ ($a_v$ la habremos medido, pero $\widetilde{a}$ tenemos que calcularla) y $\widehat{\widetilde{Z}}$, que cómo ya hemos anunciado, pasa por la resolución del triángulo de altura (y por tanto del triángulo de posición) de vértices $P,A$ y $\widetilde{Z}$. Los ángulos de dicho triángulo (y los de su homólogo el triángulo de posición) son: el ángulo con vértice $P$ es el ángulo horario local $hl_\star$; el ángulo con vértice $\tilde{Z}$ es el azimut $\widehat{\widetilde{Z}}$ (a calcular), y el ángulo con vértice el astro $\star$ $A$ es el ángulo paraláctico (que no vamos a utilizar aquí, si bien podemos también calcularlo).

Mediante las fórmulas de Bessel podemos resolver cualquier triángulo esférico -en particular, los que aquí aparecen, tienen por lados segmentos de círcunferencias máximas (el meridiano del observador hipotético, el meridiano del astro y la vertical del astro) y por tanto el que aquí nos ocupa, el triángulo de altura o el triángulo de posición. Para ello, basta con emplear las fórmulas de los cosenos del grupo I de Bessel. Así, para determinar $\widetilde{a}$, recurrimos a (conviene dibujar la figura): $$\cos(90^\circ-\widetilde{a})=\cos(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \cos(90^\circ-d)+\sin(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \sin(90^\circ-d)\cdot \cos(hl_\star) $$ que es lo mismo que $$\sin(\widetilde{a})=\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(d)+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(d)\cdot \cos(hl_\star) $$ donde todas las cantidades del segundo miembro son conocidas (la latitud de la situación estimada, la declinación del astro y el ángulo horario local del astro), luego $$\widetilde{a}=\text{arcsin}\left(\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(d)+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(d)\cdot \cos(hl_\star)\right) $$ con lo cual $$\Delta\,a=a_v-\text{arcsin}\left(\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(d)+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(d)\cdot \cos(hl_\star)\right) \quad (1)$$ Para calcular $\widehat{\widetilde{Z}}$, ahora que ya conocemos el valor de $\widetilde{a}$, podemos volver a utilizar las fórmulas del grupo I de Bessel: $$\cos(90^\circ-d)=\cos(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \cos(90^\circ-\widetilde{a})+\sin(90^\circ-\widetilde{\ell})\cdot \sin(90^\circ-\widetilde{a})\cdot \cos(\widehat{\widetilde{Z}}) $$ es decir, $$\sin(d)=\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(\widetilde{a})+\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(\widetilde{a})\cdot \cos(\widehat{\widetilde{Z}}) $$ y despejando, $$\cos(\widehat{\widetilde{Z}})=\dfrac{\sin(d)-\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(\widetilde{a})}{\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(\widetilde{a})} $$ con lo cual, $$\widehat{\widetilde{Z}}=\text{arccos}\left(\dfrac{\sin(d)-\sin(\widetilde{\ell})\cdot \sin(\widetilde{a})}{\cos(\widetilde{\ell})\cdot \cos(\widetilde{a})}\right) \quad (2)$$

Observación: Por comodidad y simplicidad he utilizado aquí las fórmulas de los cosenos (grupo I de Bessel, que son muy fáciles de recordar) para calcular los dos parámetros de la recta de altura, pero también podemos utilizar las fórmulas de los otros grupos de Bessel: II (fórmulas de los senos), III (fórmulas de las contangentes) y IV.

Nota importante: Las rectas de altura se suelen trazar en lo que llamamos una carta en blanco, ya que en navegación de altura no suelen ser de utilidad las cartas náuticas que llevamos a bordo. Para confeccionarla, habida cuenta de que necesitamos hacer estas representaciones gráficas según la proyección transversal de Mercator, tenemos que tener en cuenta que el espaciado en el eje de latitudes aumenta conforme aumenta la latitud, es decir $$\Delta\,\ell = \dfrac{\Delta\,L}{\cos(\widetilde{\ell})}$$ Por tanto, a partir de una recta horizontal, marcaremos el espaciado de las longitudes, y tranzando desde un punto de ésta un recta oblícua que forme un ángulo con ella igual al de la latitud estimada, trazaremos rectas paralelas perpendiculares que pasen por los puntos de división del espaciado horizontal, obteniendo así el espaciado de la recta oblícua (mayor siempre que el de la horizontal). Sobre el espaciado de la recta oblícua mediremos las latitudes y las distancias euclídeas (en millas náuticas, esto es en minutos de arco de meridiano) y sobre el espaciado horizontal mediremos las longitudes geográficas.

Sugerencia: Para automatizar los cálculos con la ayuda de la calculadora científica básica, podemos poner los datos de (1) y (2) en las memorias (ojo con los signos) de la máquina y programar las dos fórmulas. Al ejecutarlas, el obtener los parámetros determinantes de las rectas de altura se convierte en un proceso rápido y seguro. No obstante, como ya he comentado, conviene siempre dibujar las figuras para cotejar lo que vamos obteniendo. $\diamond$

Improvisación de una corredera para medir la velocidad en un velero, con poco o nulo aparataje electrónico

Improvisar una corredera para medir la velocidad en nudos es muy sencillo. Necesitamos una botella de plástico con tapón roscado y una madeja de cabito flotante. Llenando la botella lo suficiente para que flote medio hundida y, con una longitud del cabo flotante algo mayor que $\Delta\,\ell$ (que expresaremos en metros)-enseguida veremos qué longitud resulta práctica para dicha cantidad-. Uniremos el cabo al tapón, haciéndole agujerito para que, con un nudo de retención (un medio doble pescador va bien), podamos pasar un extremo del cabo antes de cerrar el tapón roscado. Desde luego, también necesitaremos un cronómetro (nos sirve el reloj de pulsera) para medir el intervalo de tiempo $\Delta\,t$ (expresado en segundos) entre el paso de los dos nudos que habremos hecho en el cabo, precisamente a una distancia entre ellos igual a $\Delta\,\ell$, esto es, el intervalo de tiempo tiempo entre el instante en que, habiendo largado la botella por popa y ésta esté flotando ya en el agua, pase por nuestra mano cerrada el primero de los dos nudos y el instante en que pase el segundo y último nudo por nuestra mano, y que dista del primero la longitud establecida de antemano, $\Delta\,\ell$. Como vamos a ver, de esta manera, el obtener la velocidad de la embarcación en nudos, esto es, en $\dfrac{\text{millas náuticas}}{\text{h}}$, requiere tan solo de una única operación aritmética de división, que, fácilmente, podremos hacer mentalmente después de haber medido el intervalo de tiempo $\Delta\,t$.

La velocidad media (tasa de variación media de la longitud de camino recorrido) del velero en un intervalo de tiempo $\Delta\,t$, en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, viene dada por $\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t} \quad (1)$, donde $\Delta\,\ell$ es la longitud de camino recorrida (mantenemos el rumbo) expresada en metros y $\Delta\,t$ es el tiempo que transcurre entre dos instantes de tiempo cercanos (la cantidad de tiempo necesario para realizar la tarea de medición), que expresaremos en segundos.

Como lo habitual en náutica es expresar la velocidad en nudos (abreviado, $\text{kn}$) -recordemos que $1\,\text{kn} = 1 \dfrac{\text{milla náutica}}{\text{h}}$, y que $1\,\text{milla náutica}=1852\,\text{m}$ (longitud que corresponde a $1'$ de arco de meridiano)-, haciendo uso de los factores de conversión, para obtener a partir de (1) la velocidad en nudos vendrá dada por: $$v=\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \dfrac{1\,\text{milla náutica}}{1852\,\text{m}}\cdot \dfrac{3600\,\text{s}}{1\,\text{h}}$$ es decir, $$v=\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t} \cdot \dfrac{36}{18,52}\,\text{kn}$$ Si elegimos la longitud de cabo de nuestra corredera de manera que $\Delta\,\ell = 18,52\,\text{m}$; esto es, haciendo dos marcas (o nudos) consecutivos en el cabo separadas entre sí por dicha distancia en particular, calcular la velocidad será un procedimiento muy práctico, puesto que, en estas condiciones: $$v=\dfrac{18,52}{\Delta\,t} \cdot \dfrac{36}{18,52}\,\text{kn}=\dfrac{36}{\Delta\,t} \,\text{kn}$$ Bastará pues, soltar la botella y el cabo al que va unido al tiempo que empezamos a cronometrar. Y en cuanto aparezaca entre nuestras manos la marca (o nudo) final, leemos el tiempo en segundos que ha pasado, $\Delta\,t$, y efectuamos la división $36/\Delta\,t$; el resultado es la velocidad en nudos de nuestro velero.

Por ejemplo si, el tiempo transcurrido para que discurran los $18,52\,\text{m}$ de cabo de la corredera es de $10\,\text{s}$, nuestra velocidad será de $36/10=3,6\,\text{kn}$

Anotando la velocidad que llevamos cada cierto tiempo (anotando también la hora HRB de la medición así como el rumbo que llevamos). Podemos calcular así la velocidad media ponderada (conforme a los intervalos de tiempo correspondientes a cada velocidad media medida) si navegamos a un mismo rumbo, y, por consiguiente, podremos obtener una estimación razonable de la situación de estima a partir de las distancias navegadas entre los correspondientes instantes de tiempo.

Por ejemplo, supongamos que, a un mismo rumbo, entre la hora HRBi=10:00 a a la hora HRBf=12:55 -en un tiempo total de 2 h y 55 min = $175$ min-, hemos medido tres veces la velocidad con la corredera, $v_1=3,6$ kn, la cual se ha mantenido durante $45$ min; $v_2=4,2$ kn, mantenida durante $60$ min, y $v_3=2,5$ kn, mantenida durante los últimos $70$ min. La distancia navegada, por tanto, la calcularemos de la forma $$d=\langle v \rangle \cdot (HRBf-HRBi)$$ siendo $\langle v \rangle$ la media ponderada de las tres velocidades, esto es $$\langle v \rangle=\dfrac{3,6\cdot 45+4,2\cdot 60+3,5\cdot 70}{45+60+70}=\dfrac{603}{175}=\approx 3,4\,\text{kn}$$.

Entonces, $$d=3,4 \dfrac{\text{millas náuticas}}{\text{h}} \cdot \dfrac{1\,\text{h}}{60\,\text{min}} \cdot 175 \,\text{min} \approx 9,9\,\text{millas náuticas}$$ Finalmente, sobre la carta náutica, trazamos la recta que representa nuestra derrota -corrigiendo, si es necesario, la deriva y el abatimiento- y mediante el traslado del punto de la situación inicial a HRBi la distancia así calculada, $d$, con el compás de puntas secas, obtendremos la situación geográfica estimada a la hora HRBf. Desde luego, y alternativamente, podemos hacer también lo mismo mediante el procedimiento analítico de la loxodrómica, sin tener que utilizar la carta náutica.

Nota: También podríamos hacer el cálculo tramo a tramo, pero si el número de medidas es muy grande (en grandes viajes), hacer un cálculo promediado es por simplicidad una buena opción. Si lo hiciesmos así, la diferencia sería muy pequeña; en efecto, $$d=3,6\cdot 45/60 + 4,2\cdot 60/60+ 2,5\cdot 70/60 \approx 9,8 \,\text{millas náuticas}$$

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Observación importante: Ni que decir tiene que, si entre una medida y otra de la velocidad, vamos cambiando de rumbo, deberemos anotar esos cambios de rumbo para ir trazando en la carta náutica los puntos finales de los tramos (anotando la hora HRB de cada final de tramo); o si, lo preferimos, también podemos hacer los cálculos análiticos (estima loxodrómica), sin tener que emplear la carta náutica.

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Resumen de las fórmulas de Bessel para resolver triángulos esféricos generales

Consideramos un triángulo esférico general de vértices $A,B$ y $C$, cuyos ángulos interiores son $\alpha:=\measuredangle(CAB),\beta:=\measuredangle(ABC)$ y $\gamma:=\measuredangle(BCA)$; siendo los lados opuestos a cada vértice, $a,b$ y $c$, respectivamente. Nota: Es conveniente, para empezar, hacer un dibujo del triángulo esférico con esa notación normalizada.

Distinguimos cuatro grupos:

• El grupo I de Bessel (fórmulas de los cosenos) expresa la relación entre tres lados y un ángulo:
  1. $\cos(a)=\cos(b)\cdot \cos(c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$
  2. $\cos(b)=\cos(a)\cdot \cos(c)+\sin(a)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\beta)$
  3. $\cos(c)=\cos(a)\cdot \cos(b)+\sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma)$
• El grupo II de Bessel (fórmulas de los senos) expresa, en una triple igualdad, la relación entre los ángulos y sus lados opuestos:
  1. $\dfrac{\sin(a)}{\sin(\alpha)}=\dfrac{\sin(b)}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}$
• El grupo III de Bessel (fórmulas de las cotangentes) expresa la relación entre dos de los lados del triángulo, el ángulo comprendido entre éstos, y el ángulo opuesto a uno de ellos:
  1. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
  2. $\text{cotan}(a)\cdot \sin(c)=\cos(c)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\alpha)$
  3. $\text{cotan}(b)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\gamma)\cdot \text{cotan}(\beta)$
  4. $\text{cotan}(b)\cdot \sin(c)=\cos(b)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \text{cotan}(\beta)$
  5. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(a)=\cos(a)\cdot \cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
  6. $\text{cotan}(c)\cdot \sin(b)=\cos(b)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \text{cotan}(\gamma)$
• El grupo IV de Bessel expresa la relación entre tres ángulos y un lado:
  1. $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a)$
  2. $\cos(\beta)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\gamma)+\sin(\alpha) \cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(b)$
  3. $\cos(\gamma)=-\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c)$

Ejemplo: Para resolver el problema de la ortodrómica, eligiendo las fórmulas apropiadas y empleando las siguientes asignaciones de notación

• vértices: $A:=I$ (punto de partida), $B:=P_n$ polo norte terrestre, $C:=F$ (punto de llegada)
• situación de partida: $I(\ell_I,L_I)$
• situación de llegada: $F(\ell_F,L_F)$
• lados: $a:=90^\circ-\ell_F$, $c:=90^\circ-\ell_I$, $b:=D$ (distancia a navegar)
• ángulos internos del triángulo: $\beta:=\Delta\,L=|L_F-L_I|$ (diferencia en valor absoluto entre la longitud final y la inicial), $\alpha:=R_I$ (rumbo inicial), $\gamma:=$contrarrumbo final
• signos: N(+), S(-), W(-), E(+)

llegaremos a estas cuatro, que son muy útiles en la práctica:

1. $\cos(D)=\sin(\ell_I)\cdot \sin(\ell_F)+\cos(\ell_I)\cdot (\cos(\ell_F)\cdot \cos(\Delta\,L)$ (fórmulas del grupo II)
2. $R_I=\text{arccos}\left( \dfrac{\sin(\ell_F)-\sin(\ell_I)\cdot \cos(D)}{\sin(D)\cdot \cos(\ell_i)}\right)$, que podemos emplear para calcular el rumbo inicial, una vez hayamos calculado la distancia a navegar (fórmulas del grupo II)
3. Y, también, podemos calcularlo directamente (sin haber calculado antes $D$), mediante: $R_I=\text{arctan}\left( \dfrac{\sin(\Delta\,L)}{\tan(\ell_F)\cdot \cos(\ell_I)- \tan(\ell_I)\cdot \cos(\ell_I)\cdot \cos(\Delta\,L)} \right)$ (por las fórmulas del grupo III)
4. $R_F=180^\circ -\measuredangle (P_n\,F,I)$, donde $\measuredangle (P_n\,F,I)=\text{arcsin}\left( \sin(R_I)\cdot \dfrac{\cos(\ell_I)}{\cos(\ell_F)} \right)$, empleando las fórmulas del grupo II

-oOo- Ejemplo:
Vídeo 1/2 Vídeo 2/2 -oOo-

Referencias:
[1] C. de N. Moreu Curbera; C. de N. Martínez Jiménez, Astronomía y Navegación, Tomo I, pp. 7-14

Sobre cómo iniciarse en la Navegación Astronómica

Para iniciarse en la Navegación Astronómica, habrá que empezar con lo básico: los importantes conceptos sobre la esfera celeste, identificación de astros, con un simple planisferio; luego nos meteremos con el tema de las coordenadas, el manejo del Almanaque Náutico, y, al tiempo, podemos ir empleando algún programa de ordenador de software libre como son Cartes du Ciel o Stellarium ..., incluso alguna aplicación gratuita para dispostivos móviles como es Sky Viewer, y más adelante, con un buscador Star Finder. Después, el manejo del sextante y la toma (medida) de alturas de los astros seleccionados. Y como colofón, los cálculos para, a partir de los triángulos de altura, obtener los llamados parámetros de las rectas de altura: (1) la diferencia entre la altura verdadera y la altura calculada, y (2) el azimut (del astro) verdadero (que también hay que calcular), con los cuales trazaremos la recta de altura sobre una hoja de papel, convenientemente preparada. Comprobaréis -tened fe- que los cálculos no son tan difíciles como se puede pensar al principio; los haremos con la ayuda de una calculadora científica básica y con una buena comprensión de los conceptos. Así podremos determinar la situación verdadera (aunque no exacta, claro, como en todos los resultados que se desprenden de las mediciones) del observador, partiendo de una situación estimada, y, en general, habiendo trazado un mínimo de dos rectas de altura, correspondientes, en principio, a la observación de dos astros distintos. Para contrastar los resultados de las prácticas que hagamos emplearemos los posicionadores GPS (con el del teléfono móvil o bien uno portátil, vale; no hace falta cartografía digital en segundo plano).

Para la comunicación a distancia con otras personas aficionadas: poner en común y debatir, utilizo un programa gratuito para videoconferencias, Jitsi, que funciona bastante bien. No es necesario instalar software en el ordenador y tampoco es necesario registrarse en las reuniones. Aunque, si podemos reunirnos en persona, mucho mejor ... o, por lo menos, una combinación de ambas cosas, en especial, para a la hora de juntarnos en grupos para realizar prácticas de observación.

Además, y aunque no me manejo muy bien todavía con esta herramienta (Telegram), he estado estudiando la posibilidad de organizar los mensajes 'por temas', pues creo que es interesante a la hora de facilitar la búsqueda de información específica, ya que a medida que vayamos hablando, se va a producir un galimatías de conversaciones. Me parece que ya sé cómo hacerlo: encontraréis estos primeros mensajes que nos hemos intercambiado en el tema que se titula "General', el cual puede servir para hablar de eso, de generalidades. Para cada cosa específica, voy a ir, creando carpetas ('temas'). $\diamond$

Elementos para el aprendizaje de la navegación astronómica y la navegación de altura

Elementos básicos en la navegación de altura:
1. Navegación Astronómica
   • Esfera celeste: Línea vertical o cenit nadir. Horizonte racional o verdadero. Distintas clases de horizontes. Semicírculo vertical. Almicantarat. Eje del mundo o líneas de los polos, Ecuador celeste, etc.
   • Coordenadas celestes de los astros: Coordenadas horizontales: Altura y azimut. Distintas formas de contar el azimut. Distancia cenital. Amplitud. Coordenadas horarias. Distancia polar o codeclinación. Diferencia ascensional. Movimiento propio de algunos astros. Estudio del movimiento aparente del sol. Eclíptica, Zodíaco, etc.
   • Triángulo de posición: Sus elementos. Valor del ángulo en el polo en función del horario en el lugar. Valor del ángulo en el cenit en función del azimut.
   • Movimiento aparente de los astros: Generalidades. Arcos diurno y nocturno. Ortos y ocasos. Paso de los astros por el meridiano superior e inferior del lugar.
   • La Luna: Periodo y fases de la Luna.
   • Las Estrellas: Magnitud estelar. Constelaciones. Enfilaciones para encontrar las estrellas principales partiendo de la constelación de la Osa Mayor, Orión, Escorpión, Pegaso, Cruz del Sur. Catálogos y planisferios. Buscador de estrellas (Star Finder). Software de simulación del cielo nocturno (Cartes du Ciel, Stellarium, Sky View, ...)
   • La medida del tiempo: Diferencia de hora entre dos lugares. Hora reducida. Husos horarios. Hora legal, hora inicial. Relación entre hora civil del lugar, hora legal. Línea internacional de cambio de fecha, …
   • El Almanaque Náutico: Descripción del almanaque : Conocida la hora de TU, calcular el horario del Sol en Greenwich y su declinación, pasar de horario en Gw a horario en lugar y viceversa, …
   • El sextante: Descripción Lectura de su graduación. Corrección de índice, observación de la altura de un astro con el sextante: Sol, planeta o estrella, corrección de las alturas observadas, cálculo de las coordenadas, …
   • Reconocimiento de astros: Conocidos la situación de estima del observador, la hora de TU de la observación, la altura y el azimut del astro desconocido, hallar su horario, su declinación y reconocerlo.
   • Determinación de la posición. Recta de altura: Sus determinantes. Casos particulares de la recta de altura. Latitud por altura, meridiana de un astro, por altura de la estrella Polar. Utilidad de una sola recta de altura, etc.
   • Situación por rectas de altura: Situación por dos rectas de altura simultáneas, por dos rectas y tres de altura no simultáneas, calcular el intervalo hasta el paso de un astro por el meridiano del buque en movimiento,…
   • Las representaciones de la Tierra: Proyecciones. Idea de la proyección mercatoriana. Escala de las cartas. Clasificación según la escala y la proyección gnomónica, …
   • Derrota loxodrómica: Ecuación de la loxodrómica. Cálculo del problema directo e inverso de la estima empleando latitudes aumentadas.
   • Derrota ortodrómica: Concepto general. Cálculo del rumbo ortodrómico. Cálculo de la distancia ortodrómica entre dos puntos de la esfera terrestre.
   • Navegación con posicionador satelital: GPS. Generalidades, descripción y funcionamiento.
   • Publicaciones náuticas esenciales: Amanaque Náutico. Anuario de Mareas. Libro de faros y señales de niebla. Derroteros. Cartas náuticas. Libro de señales radioléctricas. Reglamento de prevención de abordajes (RIPA). Pilot charts, etcétera
-oOo- Lo siguiente, como complementario -pero no menos importante-, también hay que considerarlo:
1. Encuentros en altamar con otros barcos. Cinemática:
   • Movimiento absoluto y relativo. Triángulo de velocidades. Rosa de maniobra. Estudio del movimiento relativo de otro buque, …
   • Movimiento absoluto y relativo. Triángulo de velocidades. Rosa de maniobra. Estudio del movimiento relativo de otro buque, …
   • El Radar: Fundamentos del radar. Descripción y funcionamiento. Interpretación de la pantalla. Marcaciones y demoras. Medición de distancias. Zonas de sombra. Ecos falsos. Radar de movimiento verdadero. Empleo práctico.
   • VHF
   • AIS
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2. Sistemas y dispositivos de comunicación y obtención de información diversa (meteorológica, alertas, etcétera) que operan a larga (o muy larga) distancia:
   • BLU
   • NAVTEX
   • Teléfonos y otros dispositivos de envío y recepción de mensajes digitales que funcionan por medio de satélites y que, en principio, son de cobertura global
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1. Magnetismo terrestre
   • Magnetismo terrestre: Elementos magnéticos terrestres. Distribución.
   • Desvío de la aguja magnética: Causas que la producen. Campos magnéticos que actúan sobre la aguja a bordo. Determinación de los desvíos por marcaciones a un objeto lejano y por marcaciones al Sol u otros astros, …
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Un ejemplo de aplicación de uso del radar. Un ejercicio de velocidad relativa

Una embarcación $A$ navega hacia el Este a una velocidad de $10$ nudos. El patrón de otra embarcación, $B$, que navega con rumbo $030^\circ$ (esto es, $\text{N}\,30^\circ\,\text{E}$), quiere calcular a qué velocidad debe navegar para que en la pantalla de radar de la embarcación $A$ vean, en todo momento, que su embarcación desplaza hacia el Norte?

Representando los vectores de velocidad $\vec{v_A}$, $\vec{v_B}$ y el vector de velocidad relativa de $B$ con respecto a $A$ ($\vec{v_r}=\vec{v_B}-\vec{v_A}$) en las condiciones expuestas en el enunciado, se configura el siguiente triángulo vectorial, que, en nuestro caso es un triángulo rectángulo:

Entonces, como el módulo de $\vec{v_A}$ es $\left\|\vec{v_A}\right\|=10$ nudos (que designaremos por, por comodidad, por $v_A$), el módulode $\vec{B}$ (que designaremos por $v_B$) ha de cumplir que $\dfrac{10}{v_B}=\cos(90^\circ-30^\circ)$, esto es,
  $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\cos(60^\circ)}$
    $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}$
      $\dfrac{v_B}{10}=2$
        $v_B=2\cdot 10$
          $v_B=20$ nudos
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L'arc de Sant Martí després de la pedregada

Port de Torredembarra, abril de 2024

Uso de las fórmulas del triángulo de altura para obtener los parámetros de una recta de altura. Situación mediante dos rectas de altura

En una fecha y hora determinada, conociendo la situación estimada del observador/embarcación, $(\lambda_e\,,\,\varphi_e)$, para poder trazar una recta de altura en una carta (o en una carta en blanco) a partir de la observación de un cierto astro $A$ a la hora $TU$ de la observación, necesitamos medir con el sextante la altura verdadera, $a_v$, de dicho astro; y, además, necesitamos calcular la altura estimada, $a_e$, que es la altura que mediríamos del astro si, realmente, estuviésemos en la situación estimada, al objeto de poder calcular el determinante del astro, que viene dado por la diferencia entre la altura verdadera que hemos medido y la altura estimada que hemos calculado, $\Delta:=|a_v-a_e|$. También necesitamos calcular el azimut $\hat{Z}$ del astro. La recta de altura es la recta perpendicular a la semirrecta azimutal que partiendo del punto de la situación estimada dista de éste una distancia $\Delta$.

El horario local del astro (ángulo en el polo $\hat{P}$) y su declinación, $\delta$, se obtienen de la consulta del Almanaque Náutico del año en curso, teniendo en cuenta la latitud de la situación estimada $\lambda_e$. Hecho ésto, habremos resuelto el triángulo de altura. Véanse para ello las fórmulas que se han justificado en el artículo precedente, para, en concreto, poder obtener la altura estimada $a_e$ y el azimut del astro, $Z$, obteniendo así los parámetros de la recta de altura: $\Delta$ y $\hat{Z}$. Véase también la leyenda de la figura para ver la relación entre las coordenadas horarias y las coordenadas uranográficas ecuatoriales.

Es evidente que con una sóla recta de altura no es suficiente para obtener la situación del observador, pues al haber dibujado la recta, dicha situación que buscamos puede ser cualquier punto de la misma (y hay infinitos puntos en una recta). Así que, por lo menos, necesitaremos realizar la observación de un segundo astro y trazar una segunda recta de altura: el punto de intersección correspondera a la situación del observador. Nota: la segunda recta de altura la podemos haber tomado mediante la observación del mismo astro horas más tarde que en la primera observación, trasladando por estima la primera recta de altura.

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Fórmulas para resolver el triángulo de altura en navegación astronómica

Recordemos que el teorema del coseno para triángulos esféricos de vértices $A,B$ y $C$ afirma que $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

Y se ha visto también que el teorema del seno afirma: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

La navegación astronómica hace uso de esos importantes resultados para resolver el llamdo triángulo de altura, en el que el vértice $A$ se sitúa en uno de los dos polos de la esfera celeste (constructo abstracto con radio arbitrario, en particular, igual a la unidad de longitud), por lo que lo renombramos con la letra $P$ (de polo), con lo cual el lado enfrentado a $P$ podemos pasar a renombrarlo con la letra $p$. Por otra parte, el vértice $B$, lo renombraremos con la letra $Z$, pues convenimos que éste corresponde al Azimut (punto de la esfera celeste que está alineado con el centro de la misma y la posición del observador en la superficie de la Tierra), y a $C$ lo renombraremos con la letra $A$, pues convenimos que corresponde a la posición del astro con el que el observador está trabajando.

Por el convenio de notación estándar de los triángulos esféricos, conviene renombrar el lado $b$ con la letra $z$, y al lado $c$ con la letra $a$

Con esta nueva notación tendremos: $$\cos\,p=\cos\,a\cdot \cos\,z+\sin\,a \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{P}$$ $$\cos\,z=\cos\,\delta\cdot \cos\,a+\sin\,\delta \cdot \sin\,a \cdot \cos\,\hat{Z}$$ $$\cos\,a=\cos\,p\cdot \cos\,z+\sin\,p \cdot \sin\,z \cdot \cos\,\hat{A}$$ $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\sin\,p}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\sin\,z}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}$$

Así las cosas, $\hat{Z}$ representa el azimut del astro; $\hat{P}$ es el llamdo ángulo en el polo, que, como veremos viene a ser el ángulo horario local del astro, y $\hat{A}$ es el llamado ángulo paraláctico. Además, como puede apreciarse en la Figura 2, $p=90^\circ - a_e$ (distancia cenital), siendo $a_e$ la altura sobre el horizonte del astro, que calculamos a partir de una posición de latitud estimada, $\lambda_e$, de la posición del observador; $c=90^\circ - \lambda_e$ (colatitud), siendo $\lambda_e$ la latitud estimada del observador, y $z=90^\circ -\delta$ (codeclinación), donde $\delta$ es la declinación (coordena ecuatorial) del astro en el instante de la observación.

Teniendo en cuenta ahora que, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares, y que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario, y, recíprocamente, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, las fórmulas anteriores se escriben ahora de la siguiente manera:

$$\sin\,a_e=\sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P} \quad (1)$$ $$\sin\,\delta=\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e+cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{Z} \quad (2)$$ $$\sin\,\lambda_e=\sin\,a_e \cdot \sin\,\delta+\cos\,a_e \cdot \cos\,\delta \cdot \cos\,\hat{A} \quad (3)$$ y $$\dfrac{\sin\,\hat{P}}{\cos\,a_e}=\dfrac{\sin\,\hat{Z}}{\cos\,\delta}=\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\cos\,\lambda_e} \quad (4)$$

De $(4)$ y, habiendo calculado la altura estimada $a_e$, y conociendo el ángulo en el polo entre el astro y el Azimut del observador, así como la declinación del astro, podemos pues calcular el azimut del astro: $$\sin\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \quad (4')$$ con lo cual $$\hat{Z}=\text{arcsin}\,\left( \dfrac{\sin\,\hat{P}\cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e} \right) \quad (4'')$$

También podemos calcular $\hat{Z}$, despejando directamente de $(2)$: $$\cos\,\hat{Z}=\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \quad (2')$$ por lo tanto $$\hat{Z}=\text{arccos}\left(\dfrac{\sin\,\delta-\sin\,a_e\cdot \sin\,\lambda_e}{cos\,a_e \cdot \cos\,\lambda_e} \right) \quad (2'')$$

También es útil la siguiente fórmula (llamada de la cotangente), que permite calcular directamente $\hat{Z}$ sin tener que haber calculado préviamente la altura estimada $a_e$: $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}}-\dfrac{\sin\,\lambda_e}{\tan\,\hat{P}} \quad (5)$$ Para justificarla, partimos de $(2')$ y $(4')$; dividiendo, miembro a miembro, la primera entre la segunda, se llega a $$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\dfrac{\sin\,\delta -\sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\cos\,\lambda_e \cdot \cos \,a_e}}{\dfrac{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\delta}{\cos\,a_e}}=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,a_e \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e}$$ y teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
$\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=\dfrac{\sin\,\delta - ( \sin\,\delta \cdot \sin\,\lambda_e +\cos\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}) \cdot \sin\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos \delta}$
  $=\dfrac{\sin\,\delta - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}-\sin^2\,\lambda_e\cdot \sin\,\delta}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
    $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot (1-\sin^2\,\lambda_e) - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
      $=\dfrac{\sin\,\delta\cdot \cos^2\,\lambda_e - \sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta}$
        $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos^2\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e\cdot \cos\,\lambda_e\cdot \cos\,\delta\cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos\,\lambda_e \cdot \cos \delta} $
          $=\dfrac{\sin\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P} \cdot \cos \delta} - \dfrac{\sin\,\lambda_e \cdot \cos\,\hat{P}}{\sin\,\hat{P} } $
            $=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} } $
y teniendo en cuenta que $\dfrac{\cos\,\hat{Z}}{\sin\,\hat{Z}}=:\text{cotan}\,\hat{Z}$ se llega a lo que queríamos justificar $$\text{cotan}\,\hat{Z}=\dfrac{\tan\,\delta \cdot \cos\,\lambda_e}{\sin\,\hat{P}} - \dfrac{\sin\,\lambda_e }{\tan\,\hat{P} }$$

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El teorema de los cosenos en trigonometría esférica

En el artículo precedente hablaba de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica; en éste, utilizando la misma notación, voy a hablar de la extensión del teorema del coseno, que es otro de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\cos\,a=cos\,b\cdot \cos\,c+\sin\,b\cdot \sin\,c\cdot \cos\,\hat{A}$$

En esta figura se representa un triángulo esférico y un sistema de referencia cartesiano con origen, $O$, situado en el centro de la esfera, con radio igual a la unidad de longitud, y con una base ortonormal de vectores, que, en concreto, es la b. canónica, $\{\hat{i}=(1,0,0)\,,\,\hat{j}=(0,1,0)\,,\,\hat{k}=(0,0,1)\}$.

Sin pérdida de generalidad del resultado que se va a obtener, se ha hecho coincidir el eje $x$ con la dirección de la proyección del vector de posición del vértice $C$ del triángulo esférico, esto es, $\vec{\text{proy}}_{Oxy}\,(\vec{r}_C)$ tiene la misma dirección que el versor $\hat{i}$.

A la derecha de la figura se recuerda cómo describir un punto en el espacio tridimensional, $P$, a partir de sus coordenadas cartesianas, $P(x,y,z)$, y, también, mediante las coordenadas esféricas, $P(r,\varphi,\theta)$, que son las coordenadas naturales a la hora de operar en una esfera. La relación entre las coordenas esféricas y las cartesianas es la siguiente: $$P:\left\{\begin{matrix}x&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \cos\,\varphi \\y&=&(r\,\sin\,\theta)\cdot \sin\,\varphi \\ z&=&r\,\cos\,\theta \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Si bien, la geometría de la esfera es uno de los ejemplos de geometría no euclídea, estas fórmulas que extienden los resultados de la trigonometría plana nos sirven para resolver triángulos esféricos, y surgen en realidad de la misma geometría euclídea, pues, como voy a mostrar, para deducir en particular la de los cosenos, utilizaré el producto escalar euclídeo entre vectores; así que, dichas fórmulas no son ajenas a la métrica euclídea. Recordemos que en un triángulo esférico, los lados son arcos de círculos máximos (geodésicas en la superfície de una esfera entre dos puntos, que corresponden a los vértices del triángulo esférico), y que la magnitud que corresponde a la distancia entre dos puntos de la esfera sobre la geodésica que los une es de naturaleza angular.

Describo a continuación, de acuerdo con $(1)$, las coordenadas vectoriales de los vectores de posición de cada uno de los vértices $A,B$ y $C$ del triángulo esférico: $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C\cdot \cos\,\varphi_C\,, \,\sin\,\theta_C\cdot \sin\,\varphi_C, \cos\,\theta_C) \end{matrix}$$ Nótese que los módulos de dichos vectores son igual a $1$, puesto que señalan todos ellos a puntos de la superfície de la esfera de radio unidad. Además, hay que tener en cuenta que $\varphi_C=0$ ya que, como se ha convenido, la proyección del vector de posición de $C$ cae encima el eje $Ox$, luego $\cos\,\varphi_C=\cos\,0=1$ y $\sin\,\varphi_C=\sin\,0=0$, con lo cual se tiene que $$\begin{matrix}\vec{r}_{A}&=&(0,0,1)\\ \vec{r}_{B}&=&(\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B\,,\,\sin\,\theta_B\cdot \sin\,\varphi_B, \cos\,\theta_B) \\ \vec{r}_{C}&=&(\sin\,\theta_C,0,\cos\,\theta_C) \end{matrix}$$

A continuación, vemos que el producto escalar euclídeo de $\vec{r}_B$ por $\vec{r}_C$ es, por las dos definiciones equivalentes del mismo: $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix} \sin\,\theta_B\cdot\cos\,\varphi_B\cdot\sin\,\theta_C+0+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C \\ \left\|\vec{r}_B\right\|\cdot \left\|\vec{r}_C\right\|\cdot \cos\,\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)} \end{matrix}\right.$$ Ahora bien, hay que tener en cuenta que (véase la figura): $\angle{(\vec{r}_B,\vec{r}_C)}=a$, y recordemos que los vectores de posición de los vértices del triángulo tienen módulo igual a $1$, $\left\|\vec{r}_B\right\|=\left\|\vec{r}_C\right\|=1$, por consiguiente $$\langle \vec{r}_B\,,\, \vec{r}_C \rangle:=\left\{\begin{matrix}\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot\cos\,\theta_C\\ \cos\,a \end{matrix}\right.$$ con lo cual tiene que cumplirse que $$\sin\,\theta_B\cdot \cos\,\varphi_B \cdot \sin\,\theta_C+\cos\,\theta_B\cdot \cos\,\theta_C=\cos\,a$$ Por otra parte, hay que darse cuenta (figura) de que: $\varphi_B=\hat{A}$, $\theta_B=c$ y $\theta_C=b$, con lo cual la ecuación anterior puede escribirse de la forma $$\sin\,c\cdot \cos\,\hat{A} \cdot \sin\,b+\cos\,c\cdot\cos\,b=\cos\,a$$ o lo que es lo mismo, $$\cos\,a=\cos\,c\cdot \cos\,b+\sin\,c \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{A}$$ Comentario:
Haciendo un desarrollo análogo, haciendo coincidir los vectores de posición de $B$ (y, respectivamente, de $C$) con el eje $Oz$, se deducen las otras dos relaciones del teorema: $$\cos\,b=\cos\,a\cdot \cos\,c+\sin\,a \cdot \sin\,c \cdot \cos\,\hat{B}$$ y $$\cos\,c=\cos\,a\cdot \cos\,b+\sin\,a \cdot \sin\,b \cdot \cos\,\hat{C}$$

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El teorema del seno (o de los senos) de la trigonometría esférica

En este artículo voy a hablar de la extensión del teorema del seno de la trigonometría plana a la trigonometría esférica.

Un triángulo esférico es el que forman tres segmentos de circunferencias máximas en la superficie de una esfera. Sea un triángulo esférico como el de la figura. En este artículo voy a justificar el teorema del seno, uno de los teoremas básicos de la trigonometría esférica, y que afirma lo siguiente: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c}$$

Hay que recordar que en un triángulo esférico los lados del mismo, $a,b$ y $c$, son arcos de circunferencias máximas y por tanto dichas magnitudes son angulares. Tomaremos la unidad como longitud arbitraria del radio de la esfera, esto es $OA=OB=OC=1$. Como se indica en la figura, los vértices del triángulo esférico son $A,B$ y $C$; y los ángulos entre los lados, con vértice en dichos puntos, son, respectivamente, $\hat{A}$, $\hat{B}$ y $\hat{C}$. El centro de la esfera es $O$.

Comienzo trazando desde $A$ el segmento de recta perpendicular a la recta que pasa por $O$ y por el vértice $B$ del triángulo esférico, el cual interseca en el punto $I$; también, desde $A$ trazo el segmento de recta, perpendicularmente, a la recta que pasa por $O$ y por el vértice del triángulo esférico $C$. Hecho ésto, y también desde $A$ trazo el segmento rectilíneo perpendicular al plano que contiene los puntos $O,C$ y $B$, y que lo intersaca en el punto $J$; denoto este segmento por $[A,J]$, indicando por tanto la medida de su longitud como $AJ$.

Del triángulo rectángulo plano $\triangle{OAH}$ podemos escribir que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{HOA}$, y como este ángulo es igual al lado, $b$, del triángulo esférico, teniendo en cuenta que $OA=1$, nos queda $$AH=\sin\,b \quad (1)$$ Haciendo lo mismo con el triángulo rectángulo plano $\triangle{OAI}$, se tiene que $AH=OA\cdot \sin\,\widehat{AIO}$, pero este ángulo es igual al lado, $c$, del triángulo esférico, luego podemos escribir $$AI=\sin\,c \quad (2)$$

Por otra parte, el trazar $AJ$ se forman dos triángulos rectánulos planos: $\triangle{AJH}$ y $\triangle{AIJ}$. Del primero, se tiene que $AJ=AH\cdot \sin\,\widehat{CHA}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{C}$ que forman los lados $a$ y $b$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AH\cdot \sin\,\hat{C} \quad (3)$$ Y del segundo triángulo rectángulo, se cumple que $AJ=AI\cdot \sin\,\widehat{AIJ}$, pero este ángulo es igual al ángulo $\hat{B}$ que forman los lados $a$ y $c$ del triángulo esférico, por tanto $$AJ=AI\cdot \sin\,\hat{B} \quad (4)$$

Sustituyendo ahora $(1)$ en $3)$ y $(2)$ en $(4)$ se llega a $$\sin\,b \cdot \sin \, \hat{C}=\sin\,c \cdot \sin\, \hat{B} \quad (5) $$ y por consiguiente $$\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} \quad (5')$$

Haciendo una construcción análoga tomando como vértice superior del triángulo esférico $C$ llegaríamos fácilmente a una relación similar: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b} \quad (5'')$$ Así que de $(5')$ y $(5'')$ se deduce de manera inmediata la triple igualdad propuesta: $$\dfrac{\sin\,\hat{A}}{\sin\,a}=\dfrac{\sin\,\hat{B}}{\sin\,b}=\dfrac{\sin\,\hat{C}}{\sin\,c} $$

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Trigonometria esfèrica. Una demostració de la fórmula dels cosinus

En aquest escrit parlaré de l'extensió del teorema del cosinus de la trigonometría plana a la trigonometría esfèrica (resolució de triangles esfèrics)

Considerant la superfície de la Terra com una esfera (superfície esfèrica) ens introduirem, ara, en les geometries en les que cal sortir de la planitud del pla, resolent el següent problema pràctic de geometria esfèrica:

Problema:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Resoldrem aquest problema al final de l'escrit i exposarem un exemple concret. Per això, primer de tot, cal que exposem algunes nocions essencials i els conceptes bàsics de la geometria esfèrica. Tot seguit, justificarem unes fórmules trigonomètriques vàlides per als triangles esfèrics (no ens estendrem a parlar d'altres que no necessitarem aquí): les igualtats de Bessel (grup I), les quals justificarem a partir de les relacions elementals de la trigonometria plana (Figura 2). Aquestes igualtats ens permetran arribar a la solució del problema pràctic plantejat al començament.

GEOMETRIES NO EUCLIDIANES

Una geometria és no euclidiana si aquesta es pot desenvolupar de manera consistent, a partir de la negació d'algun dels cinc postulats d'Euclides; en aquest cas (el de la geometria el·líptica i, en particular, de la g. esfèrica) - entre altres - es nega el cinquè postulat d'Euclides:
(...) per un punt exterior a una "recta" hi passa una única "recta" paral·lela a la donada. , afirmant que: "No hi ha cap recta paral·lela a la donada que passi per un punt exterior a una "recta" donada (geometria el·líptica [Riemann]).

Abans de continuar amb aquesta introducció, cal fer precisió sobre el concepte de "recta" (per això ho podem llegir, aquí, entre cometes): cal entendre per "recta" en una superfície donada (no necessàriament plana - euclidiana -) la corba de longitud mínima que uneix dos punts de la superfície; aquesta corba s'anomena geodèsica i, de seguida, en parlarem amb més detall.

Un altre tipus de geometria no euclidiana n'és la geometria hiperbòlica [Bolyai (1775-1855), Lobachevsky (1792-1856), Gauss (1777-1855)] que nega el cinquè postulat, afirmant que hi ha, no una sola, ans infinites "rectes" paral·leles que passen per un punt exterior a la "recta" donada.

GEOMETRIA DE LA SUPERFÍCIE ESFÈRICA:

Hem vist que la geometria de la superfície d'una esfera és un cas concret de geometria no euclidiana; és un cas particular de geometria el·líptica [un cas particular de g. de Riemann (1826-1866)] que, en particular, en el cas de l'esfera, s'anomena geometria esfèrica. No obstant això, les fórmules de les que parlarem continuen deduint-se a partir de la mètrica euclidiana. No aprofundirem per tant en la geometría no euclidiana de l'esfera.

En una esfera, anomenem cercle màxim a la secció que s'obté en intersectar una circumferència que passi pel centre de l'esfera amb la superfície d'aquesta. Un triangle esfèric és, doncs, la intersecció de tres circumferències corresponents als respectius cercles màxims.

Considerarem un triangle esfèric, com ara el triangle $ABC$ (Figura 1). Els punts $A$, $B$ i $C$ s'anomenen vèrtexs del triangle esfèric, i els costats $a$, $b$ i $c$ són els costats del mateix que, donat que representen arcs de circumferència, els podem mesurar donant la magnitud del seu angle central. Per altra banda, els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ corresponen als angles que formen els plans que tallen l'esfera i passen pel seu centre:
$\alpha \equiv \angle (OAC, OAB)$
$\beta \equiv \angle (OBC, OAB)$
$\gamma \equiv \angle (OAC, OBC)$

Els costats d'aquest triangle (esfèric) són arcs de cercles màxims. Una propietat elemental a remarcar és la que fa referència a la suma dels angles d'un triangle esfèric: $\alpha + \beta + \gamma \ge 180º$, un símptoma clar que aquesta geometria ja no és la euclidiana.

Donada una superfície, anomenem geodèsica a la corba que uneix dos punts de la mateixa pel camí més curt possible. En una esfera, aquesta corba és el contorn del cercle màxim (circumferència) que passa per tots dos punts.

LES FÓRMULES DE BESSEL (GRUP I) SOBRE ELS TRIANGLES ESFÈRICS

Analitzant acuradament el triangle esfèric de la Figura 2 deduirem un conjunt de tres fórmules que expressen una relació entre els costats del triangle ($a$, $b$ i $c$) i els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$) i que ens permetran resoldre el problema plantejat al començament de l'escrit. Val a dir que aquestes tres igualtats [grup I de Bessel (Friedrich Bessel, 1784-1846] no són pas les úniques relacions que es poden deduir; aquí - per tal de no estendre'ns en excés - tan sols farem ús de les que necessitem.

Observem (Figura 2) que
$\overline{OT}=\overline{OM}+\overline{MT} \quad \quad (1)$

Figura 2

Representació del triangle esfèric ABC. El sistema de referència, format per l'origen de coordenades $O$ (situat al centre de l'esfera) i els eixos perpendiculars $Ox$, $Oy$ i $Oz$, configura el triedre de plans perpendiculars Oxy, Oxz i Oyz. Hem girat convenientment el sistema de referència per tal que - no hi ha pèrdua de validesa en això - un dels vèrtexs del triangle esfèric es trobi damunt d'un dels tres eixos (en el cas de la figura, el vèrtex $C$ es troba damunt l'eix Oy) i un dels costats del triangle es trobi damunt d'un dels plans (en el cas de la figura, el costat $a$ es troba damunt del pla Oxy.

Tenint en compte els triangles rectangles plans
$\triangle{OMR}$
i
$\triangle{RNS}$
podem escriure les raons trigonomètriques de l'angle $a$

$\cos{a}=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OR}}$
i
$\sin{a}=\dfrac{\overline{MT}}{\overline{RS}}$

substiuint aquestes expressions a (1) trobem
$\overline{OT}=\overline{OR}\cdot \cos{a}+\overline{RS}\cdot \sin{a} \quad \quad (1')$

per altra banda, dels triangles $\triangle{OTA}$, $\triangle{ORA}$ i $\triangle{RSA}$, podem escriure
$\cos{b}=\dfrac{\overline{OT}}{\overline{OA}}$
$\cos{c}=\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OA}}$
$\sin{c}=\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RO}}$
i
$\cos{\beta}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{RA}}$
on $\beta$ designa l'angle $\angle(SRA)$

llavors, la igualtat (1') es pot escriure de la forma
$\overline{OA} \cdot \cos{(b)}=\overline{OA} \cdot \cos{(c)}\,\cos{(a)}+\overline{OA} \cdot \sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)}$
i, simplificant, arribem a una de les tres igualtats de la trigonometria esfèrica
grup I de Bessel que es coneix com a grup I de Bessel:

$\cos{(b)}=\cos{(c)}\,\cos{(a)}+\sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)} \quad \quad (I1)$

Si permutem els costats (i angles) de la fórmula, podem escriure dues relacions més

$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)} \quad \quad (I2)$
$\cos{(c)}=\cos{(a)}\,\cos{(b)}+\sin{(a)}\,\sin{(b)}\,\cos{(\gamma)} \quad \quad (I3)$

CÀLCUL DE LA LONGITUD DE L'ARC DE GEODÈSICA DAMUNT D'UNA ESFERA

Quan ens referim a la superfície de la Terra, es coneix també com a problema del càlcul de la longitud de l'ortodròmica (Navegació) al problema que, ara, resoldrem fent ús del que s'ha dit anteriorment.

Recordem l'enunciat del problema plantejat al començament de l'escrit:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Entendrem que, aquí, en aquest problema, els vèrtexs del triangle esfèric (figures 1 i 2) tenen els següent significat:

    Fem coincidir $A$ amb el Pol Nord geogràfic

    El vèrtex $B$ correspon al punt de la trajectòria ortodròmica $P_{1}(l_1,L_1)$ (un dels extrems de la geodèsica)

    El vèrtex $C$ correspon al punt $P_{2}(l_2,L_2)$ (l'altre extrem de la geodèsica)

    El costat $a$ representa representa la longitud del camí entre els dos extrems de la geodèsica (distància mínima entre tots dos punts) que anomenarem $s$ (longitud de l'ortodròmica entre aquest dos punts). El valor de la magnitud de $s$ entre els dos punts $P_1$ I $P_2$, la trobarem, primer, expressada en unitats angulars, per bé que, al final, la convertirem a unitats de longitud, tenint en compte l'equivalència entre les untitats angulars d'arc de circumferència de cercle màxim - és a dir, de meridià (geodèsica de la superfície d'una esfera) - i les unitats de longitud d'arc.

Llavors, partint de la igualtat (I2)
$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)}$
i tenint en compte el significat concret dels elements del triangle que acabem d'explicar quan el vèrtex $A$ el fem coincidir amb el Pol Nord cal escriure:
$b=90º-l_1$ i, per tant, $\cos{(b)}=\sin{(l_1)}$   i   $\sin{(b)}=\cos{(l_1)}$
$c=90º-l_2$ i, per tant, $\cos{(c)}=\sin{(l_2)}$   i   $\sin{(c)}=\cos{(l_2)}$

Per altra banda, $\alpha$ representa la diferència de longituds entre els dos extrems del camí $P_1$ i $P_2$
és a dir
$\alpha=\left|L_1-L_2\right|$, que anomenarem $\Delta \, L$

A partir de tot això ja tenim el càlcul a punt:
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$

Tindrem en compte que el valor de la latitud d'un punt sobre la superfície de l'esfera és positiu si el punt es troba a l'hemisferi Nord; i negatiu, si es troba a l'hemisferi Sud. No cal dir que la coordenada de longitud (el valor de $L$) cal donar-les també amb el signe corresponent (positiva si es troba a l'Est del meridià zero, i negativa si es troba a l'Oest d'aquest meridià de referència).

Per acabar, i anomenant $k$ al valor del segon membre de la igualtat anterior [ $\cos{s}=k$ ($-1 \le k \le 1$ ] trobarem el valor de $s$ fent ús de la recíproca de la funció cosinus:
$s = \arccos{k}$ (prenent valors entre 0º i 360º)

Per calcular la longitud d'arc de cercle màxim entre dos punts (del camí sobre la geodèsica) en unitats de longitud, tindrem en compte que $1'$ d'arc de meridià terrestre [ la longitud d'un meridià és igual a la de la circumferència d'un cercle màxim ] equival a $1 \, \text{milla \, nàutica}$   ( $1 \, \text{milla \, nàutica} \approx 1\,852 \, m$ ).

EXEMPLE:

Enunciat:
Determineu la distància sobre la geodèsica $s$ entre els punts:
$P_1$, de coordenades $l_1=-5º \, \text{S}$, $L_2=40º \, \text{E}$
i
$P_2$, de coordenades $l_1=45º \, \text{N}$, $L_2=60º \, \text{W}$

Resolució:
Tenint en compte que $\Delta L = |40º-(60º)|= 100º$
així com les dades de les latituds, la fórmula de Bessel
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$
ens dóna el següent valor
$\cos{(s)}=\sin{(-5º)}\,\sin{(45º)}+\cos{(-5º)}\,\cos{(45º)}\,\cos{(100º)}$
és a dir
$\cos{(s)}\approx -0,1839$
per tant
$s = \arccos{(-0,1839)} \approx 100,5999º$
i convertint a minuts d'arc de meridià (de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) multiplicant per $60$ (minuts que té cada grau) trobem
$s \approx 6036 \,'$
i com que $1'$ d'arc de meridià (i, en general, de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) equival a $1 \, \text{milla nàutica}$
el camí entre els dos punts té una longitud de $6036 \, \text{milles \, nàutiques}$
Si ho volem expressar en quilòmetres, cal recordar que $1' \, \text{(d'arc de meridià)} = 1 \, \text{milla nàutica} \approx 1\,852 \, \text{m} $
per tant
$s \approx 11\,179 \, \text{km}$

-oOo-

Nota sobre la notació:
La latitud, $l$, també se sol notar amb la lletra grega $\delta$; y la longitud, $L$, amb la lletra grega $\varphi$.

$\diamond$

Mensajes de socorro

Niveles de los mensajes de socorro (de mayor a menor gravedad de la situación):

1. Mensaje de peligro o MAYDAY (Se pronuncia 'MEDÉ', repetido 3 veces + contenido del mensaje [nombre de la embarcación + situación (coordenadas geográficas o bien demora y distancia a un lugar de referencia) + motivo]): se emplea en el caso de un situación de peligro grave e inminente para la embarcación o las personas, requiréndose necesariamente la prestación de auxilio
2. Mensaje de urgencia ('PAN-PAN', repetido tres veces + contenido del mensaje [nombre de la embarcación + situación (coordenadas geográficas o bien demora y distancia a un lugar de referencia) + motivo]): se emplea en el caso de que la seguridad de una embarcación o de personas quede comprometida, si bien no exista un peligro grave o inmediato.
3. Mensaje de seguridad ('SECURITÉ', repetido 3 veces + contenido del mensaje [nombre de la embarcación + situación (coordenadas geográficas o bien demora y distancia a un lugar de referencia) + motivo]): se emplea para transmitir mensajes relativos a la seguridad de la navegación o avisos meteorológicos importantes.

Las frecuencias para las llamadas y tráfico de socorro en radiotelefonía son en VHF $156,800$ Mhz (Canal 16) y en Onda Media, $2\,182$ Khz. En Llamada Selectiva Digital (LSD), son: en VHF $156,525$ Mhz (Canal 70), y en Onda Media $2\,187,500$ Khz. $\diamond$

Càlcul de la derrota ortodrómica

Considerant la superfície de la Terra com una esfera (superfície esfèrica) ens introduïrem, ara, en el món de les geometries no euclidianes, resolent el següent problema pràctic de geometria esfèrica:

Problema:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Resoldrem aquest problema al final de l'escrit i exposarem un exemple concret. Per això, primer de tot, cal que exposem algunes nocions essencials i els conceptes bàsics de la geometria esfèrica. Tot seguit, justificarem unes fórmules trigonomètriques vàlides per als triangles esfèrics (no ens estendrem a parlar d'altres que no necessitarem aquí): les igualtats de Bessel (grup I), les quals justificarem a partir de les relacions elementals de la trigonometria plana (Figura 2). Aquestes igualtats ens permetran arribar a la solució del problema pràctic plantejat al començament.

GEOMETRIES NO EUCLIDIANES

Una geometria és no euclidiana si aquesta es pot desenvolupar de manera consistent, a partir de la negació d'algun dels cinc postulats d'Euclides; en aquest cas (el de la geometria el·líptica i, en particular, de la g. esfèrica) - entre altres - es nega el cinquè postulat d'Euclides:
(...) per un punt exterior a una "recta" hi passa una única "recta" paral·lela a la donada. , afirmant que: "No hi ha cap recta paral·lela a la donada que passi per un punt exterior a una "recta" donada (geometria el·líptica [Riemann]).

Abans de continuar amb aquesta introducció, cal fer precisió sobre el concepte de "recta" (per això ho podem llegir, aquí, entre cometes): cal entendre per "recta" en una superfície donada (no necessàriament plana - euclidiana -) la corba de longitud mínima que uneix dos punts de la superfície; aquesta corba s'anomena geodèsica i, de seguida, en parlarem amb més detall.

Un altre tipus de geometria no euclidiana n'és la geometria hiperbòlica [Bolyai (1775-1855), Lobachevsky (1792-1856), Gauss (1777-1855)] que nega el cinquè postulat, afirmant que hi ha, no una sola, ans infinites "rectes" paral·leles que passen per un punt exterior a la "recta" donada.

GEOMETRIA DE LA SUPERFÍCIE ESFÈRICA:

Hem vist que la geometria de la superfície d'una esfera és un cas concret de geometria no euclidiana; és un cas particular de geometria el·líptica [un cas particular de g. de Riemann (1826-1866)] que, en particular, en el cas de l'esfera, s'anomena geometria esfèrica.

En una esfera, anomenem cercle màxim a la secció que s'obté en intersectar un que passi pel centre de l'esfera amb la superfície d'aquesta. Un triangle esfèric és, doncs, la intersecció de tres circumferències corresponents als respectius cercles màxims.

Considerarem un triangle esfèric, com ara el triangle $ABC$ (Figura 1). Els punts $A$, $B$ i $C$ s'anomenen vèrtexs del triangle esfèric, i els costats $a$, $b$ i $c$ són els costats del mateix que, donat que representen arcs de circumferència, els podem mesurar donant la magnitud del seu angle central. Per altra banda, els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ corresponen als angles que formen els plans que tallen l'esfera i passen pel seu centre:
$\alpha \equiv \angle (OAC, OAB)$
$\beta \equiv \angle (OBC, OAB)$
$\gamma \equiv \angle (OAC, OBC)$

Els costats d'aquest triangle (esfèric) són arcs de cercles màxims. Una propietat elemental a remarcar és la que fa referència a la suma dels angles d'un triangle esfèric: $\alpha + \beta + \gamma \ge 180º$, un símptoma clar que aquesta geometria ja no és la euclidiana.

Donada una superfície, anomenem geodèsica a la corba que uneix dos punts de la mateixa pel camí més curt possible. En una esfera, aquesta corba és el contorn del cercle màxim (circumferència) que passa per tots dos punts.

LES FÓRMULES DE BESSEL (GRUP I) SOBRE ELS TRIANGLES ESFÈRICS

Analitzant acuradament el triangle esfèric de la Figura 2 deduirem un conjunt de tres fórmules que expressen una relació entre els costats del triangle ($a$, $b$ i $c$) i els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$) i que ens permetran resoldre el problema plantejat al començament de l'escrit. Val a dir que aquestes tres igualtats [grup I de Bessel (Friedrich Bessel, 1784-1846] no són pas les úniques relacions que es poden deduir; aquí - per tal de no estendre'ns en excés - tan sols farem ús de les que necessitem.

Observem (Figura 2) que
$\overline{OT}=\overline{OM}+\overline{MT} \quad \quad (1)$

Figura 2

Representació del triangle esfèric ABC. El sistema de referència, format per l'origen de coordenades $O$ (situat al centre de l'esfera) i els eixos perpendiculars $Ox$, $Oy$ i $Oz$, configura el triedre de plans perpendiculars Oxy, Oxz i Oyz. Hem girat convenientment el sistema de referència per tal que - no hi ha pèrdua de validesa en això - un dels vèrtexs del triangle esfèric es trobi damunt d'un dels tres eixos (en el cas de la figura, el vèrtex $C$ es troba damunt l'eix Oy) i un dels costats del triangle es trobi damunt d'un dels plans (en el cas de la figura, el costat $a$ es troba damunt del pla Oxy.

Tenint en compte els triangles rectangles plans
$\triangle{OMR}$
i
$\triangle{RNS}$
podem escriure les raons trigonomètriques de l'angle $a$

$\cos{a}=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OR}}$
i
$\sin{a}=\dfrac{\overline{MT}}{\overline{RS}}$

substiuint aquestes expressions a (1) trobem
$\overline{OT}=\overline{OR}\cdot \cos{a}+\overline{RS}\cdot \sin{a} \quad \quad (1')$

per altra banda, dels triangles $\triangle{OTA}$, $\triangle{ORA}$ i $\triangle{RSA}$, podem escriure
$\cos{b}=\dfrac{\overline{OT}}{\overline{OA}}$
$\cos{c}=\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OA}}$
$\sin{c}=\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RO}}$
i
$\cos{\beta}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{RA}}$
on $\beta$ designa l'angle $\angle(SRA)$

llavors, la igualtat (1') es pot escriure de la forma
$\overline{OA} \cdot \cos{(b)}=\overline{OA} \cdot \cos{(c)}\,\cos{(a)}+\overline{OA} \cdot \sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)}$
i, simplificant, arribem a una de les tres igualtats de la trigonometria esfèrica
grup I de Bessel que es coneix com a grup I de Bessel:

$\cos{(b)}=\cos{(c)}\,\cos{(a)}+\sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)} \quad \quad (I1)$

Si permutem els costats (i angles) de la fórmula, podem escriure dues relacions més

$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)} \quad \quad (I2)$
$\cos{(c)}=\cos{(a)}\,\cos{(b)}+\sin{(a)}\,\sin{(b)}\,\cos{(\gamma)} \quad \quad (I3)$

CÀLCUL DE LA LONGITUD DE L'ARC DE GEODÈSICA DAMUNT D'UNA ESFERA

Quan ens referim a la superfície de la Terra, es coneix també com a problema del càlcul de la longitud de l'ortodròmica (Navegació) al problema que, ara, resoldrem fent ús del que s'ha dit anteriorment.

Recordem l'enunciat del problema plantejat al començament de l'escrit:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).

Entendrem que, aquí, en aquest problema, els vèrtexs del triangle esfèric (figures 1 i 2) tenen els següent significat:

    Fem coincidir $A$ amb el Pol Nord geogràfic

    El vèrtex $B$ correspon al punt de la trajectòria ortodròmica $P_{1}(l_1,L_1)$ (un dels extrems de la geodèsica)

    El vèrtex $C$ correspon al punt $P_{2}(l_2,L_2)$ (l'altre extrem de la geodèsica)

    El costat $a$ representa representa la longitud del camí entre els dos extrems de la geodèsica (distància mínima entre tots dos punts) que anomenarem $s$ (longitud de l'ortodròmica entre aquest dos punts). El valor de la magnitud de $s$ entre els dos punts $P_1$ I $P_2$, la trobarem, primer, expressada en unitats angulars, per bé que, al final, la convertirem a unitats de longitud, tenint en compte l'equivalència entre les untitats angulars d'arc de circumferència de cercle màxim - és a dir, de meridià (geodèsica de la superfície d'una esfera) - i les unitats de longitud d'arc.

Llavors, partint de la igualtat (I2)
$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)}$
i tenint en compte el significat concret dels elements del triangle que acabem d'explicar quan el vèrtex $A$ el fem coincidir amb el Pol Nord cal escriure:
$b=90º-l_1$ i, per tant, $\cos{(b)}=\sin{(l_1)}$   i   $\sin{(b)}=\cos{(l_1)}$
$c=90º-l_2$ i, per tant, $\cos{(c)}=\sin{(l_2)}$   i   $\sin{(c)}=\cos{(l_2)}$

Per altra banda, $\alpha$ representa la diferència de longituds entre els dos extrems del camí $P_1$ i $P_2$
és a dir
$\alpha=\left|L_1-L_2\right|$, que anomenarem $\Delta \, L$

A partir de tot això ja tenim el càlcul a punt:
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$

Tindrem en compte que el valor de la latitud d'un punt sobre la superfície de l'esfera és positiu si el punt es troba a l'hemisferi Nord; i negatiu, si es troba a l'hemisferi Sud. No cal dir que la coordenada de longitud (el valor de $L$) cal donar-les també amb el signe corresponent (positiva si es troba a l'Est del meridià zero, i negativa si es troba a l'Oest d'aquest meridià de referència).

Per acabar, i anomenant $k$ al valor del segon membre de la igualtat anterior [ $\cos{s}=k$ ($-1 \le k \le 1$ ] trobarem el valor de $s$ fent ús de la recíproca de la funció cosinus:
$s = \arccos{k}$ (prenent valors entre 0º i 360º)

Per calcular la longitud d'arc de cercle màxim entre dos punts (del camí sobre la geodèsica) en unitats de longitud, tindrem en compte que $1'$ d'arc de meridià terrestre [ la longitud d'un meridià és igual a la de la circumferència d'un cercle màxim ] equival a $1 \, \text{milla \, nàutica}$   ( $1 \, \text{milla \, nàutica} \approx 1\,852 \, m$ ).

EXEMPLE:

Enunciat:
Determineu la distància sobre la geodèsica $s$ entre els punts:
$P_1$, de coordenades $l_1=-5º \, \text{S}$, $L_2=40º \, \text{E}$
i
$P_2$, de coordenades $l_1=45º \, \text{N}$, $L_2=60º \, \text{W}$

Resolució:
Tenint en compte que $\Delta L = |40º-(60º)|= 100º$
així com les dades de les latituds, la fórmula de Bessel
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$
ens dóna el següent valor
$\cos{(s)}=\sin{(-5º)}\,\sin{(45º)}+\cos{(-5º)}\,\cos{(45º)}\,\cos{(100º)}$
és a dir
$\cos{(s)}\approx -0,1839$
per tant
$s = \arccos{(-0,1839)} \approx 100,5999º$
i convertint a minuts d'arc de meridià (de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) multiplicant per $60$ (minuts que té cada grau) trobem
$s \approx 6036 \,'$
i com que $1'$ d'arc de meridià (i, en general, de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) equival a $1 \, \text{milla nàutica}$
el camí entre els dos punts té una longitud de $6036 \, \text{milles \, nàutiques}$
Si ho volem expressar en quilòmetres, cal recordar que $1' \, \text{(d'arc de meridià)} = 1 \, \text{milla nàutica} \approx 1\,852 \, \text{m} $
per tant
$s \approx 11\,179 \, \text{km}$

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Nota sobre la notació:
La latitud, $l$, també se sol notar amb la lletra grega $\delta$; y la longitud, $L$, amb la lletra grega $\varphi$.

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Drisses ordenades. A l'espera de la propera navegació

Sobrevent, estiu de 2022

¿Qué se necesita para utilizar Navionics?

Para utilizar el software de Navionics en un pequeño velero, necesitarás lo siguiente:

• Dispositivo móvil o tableta: Navionics ofrece una aplicación móvil que puedes descargar en tu dispositivo iOS o Android. Asegúrate de que tu dispositivo tenga suficiente capacidad de almacenamiento y una batería con carga suficiente para el tiempo de navegación.
• Suscripción a Navionics: La aplicación de Navionics requiere una suscripción para acceder a todas las funciones y mapas actualizados. Es posible adquirir una suscripción mensual o anual directamente a través de la aplicación.
• Conexión GPS: Hay que asegurarse de que tu dispositivo móvil o tableta tenga una conexión GPS activada. La aplicación de Navionics utiliza la señal GPS para determinar la ubicación de nuestro barco en tiempo real y mostrarla en los mapas.
• Mapas náuticos: Una vez que tengamos la suscripción activada, podremos descargar los mapas náuticos específicos que necesitemos según nuestra área de navegación. La aplicación de Navionics ofrece una amplia selección de mapas detallados, que incluyen información sobre profundidades, boyas, faros, puertos y otras características relevantes para la navegación.
• Actualizaciones regulares: Es importante mantener la suscripción y los mapas actualizados para tener acceso a la información más reciente sobre el área de navegación elegida. Navionics suele lanzar actualizaciones periódicas para mejorar la precisión de los mapas y agregar nuevas características.

Tengamos en cuenta que Navionics es una herramienta de navegación adicional y no debe ser nuestro único recurso. Siempre es recomendable llevar también mapas físicos, una brújula, un GPS independiente y estar atento a las condiciones del mar y las regulaciones locales de navegación.

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Referencias:

  [1] Navionics [https://www.navionics.com/esp/]

Receptores-emisores AIS

¿Qué es un emisor-receptor AIS?

Un emisor-receptor AIS es un dispositivo electrónico que se utiliza en el ámbito marítimo para mejorar la seguridad en el transporte de mercancías y personas. AIS significa Sistema de Identificación Automática en inglés. El dispositivo AIS funciona mediante la transmisión de información por radiofrecuencia entre los barcos equipados con este dispositivo y las estaciones terrestres de control de tráfico marítimo. La información transmitida incluye la posición, velocidad, rumbo y otras características del barco, así como también información sobre su carga, tamaño y destino.

El emisor-receptor AIS se utiliza para aumentar la seguridad en la navegación, ya que permite a los barcos identificarse mutuamente y así evitar colisiones. También ayuda a las autoridades portuarias y de tráfico marítimo a supervisar el tráfico de barcos y a mejorar la eficiencia de la gestión del tráfico.

Existen dos clases principales de emisores-receptores AIS:

1. Clase A: Estos dispositivos son obligatorios para buques de gran tamaño, como buques de carga, petroleros, buques de pasajeros y embarcaciones comerciales de alta velocidad. La Clase A del AIS utiliza una transmisión de mayor potencia que la Clase B, lo que permite una mayor cobertura y precisión en la transmisión de la información. Además, la Clase A tiene más capacidades que la Clase B, como la capacidad de recibir información de otros buques y de las estaciones terrestres.
2. Clase B: Estos dispositivos son más pequeños y menos costosos que los de la Clase A y están diseñados para su uso en embarcaciones más pequeñas, como barcos de pesca y embarcaciones de recreo. La Clase B del AIS tiene una potencia de transmisión más baja que la Clase A, lo que limita su alcance de transmisión. Además, la Clase B solo puede recibir información de otros buques, pero no de las estaciones terrestres.

En resumen, la Clase A del AIS es más costosa y se utiliza en buques más grandes y comerciales, mientras que la Clase B es más asequible y se utiliza en embarcaciones más pequeñas y privadas.

¿Es posible conectar el emisor-receptor AIS a la misma antena del transceptor VHF?

Conectar el emisor-receptor AIS a la misma antena del transceptor VHF no es recomendable. Es mejor utilizar una antena AIS dedicada o un splitter VHF-AIS para garantizar un rendimiento óptimo y evitar interferencias.

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Referencias:

  [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_Identificación_Automática

Acerca de cómo emplear una Raspberry Pi como ordenador de a bordo, y el software de navegación OpenPlotter y OpenCPN

OpenPlotter es un software gratuito y de código abierto que se utiliza para la navegación marítima y la automatización de barcos. Está diseñado para ser utilizado en combinación con un hardware específico, como una Raspberry Pi, y proporciona herramientas para la recopilación y visualización de datos de navegación, el control de dispositivos electrónicos a bordo, la gestión de redes y la automatización de tareas.

OpenPlotter es una plataforma flexible y personalizable que permite a los usuarios adaptarla a sus necesidades específicas de navegación. Proporciona una interfaz gráfica de usuario intuitiva y fácil de usar, y ofrece una amplia gama de funciones, desde la visualización de mapas hasta el control de la iluminación y la gestión de la energía a bordo.

Además, OpenPlotter cuenta con una comunidad activa y colaborativa de usuarios y desarrolladores que comparten conocimientos y experiencias para mejorar la plataforma y proporcionar soporte técnico.

He jugado un poco con el chat GPT, de OpenAI [https://chat.openai.com/chat], para hacerle algunas preguntas básicas acerca de la posibilidad de usar mi Raspberry Pi 3b+ como ordenador de a bordo, y lo que sigue es el resumen de las respuestas a mis consultas. Cabe decir que he tenido que hacer algunas correcciones precisas a las respuestas recibidas (en especial, a algunas URLs que me proporcionaba la IA y que eran obsoletas).

Instalación del software Open Plotter en una Raspberry Pi 3b+, ¿cómo puedo hacerlo?

1. Descarga la imagen de OpenPlotter para Raspberry Pi desde la página oficial de descargas (https://openmarine.net/openplotter).
2. Descarga e instala la utilidad Etcher (https://www.balena.io/etcher/) —u otra que cubra la misma función— en tu computadora.
3. Inserta una tarjeta SD en tu computadora y usa Etcher para escribir la imagen de OpenPlotter en la tarjeta SD.
4. Retira la tarjeta SD de tu computadora e insértala en la Raspberry Pi 3B+.
5. Conecta la Raspberry Pi a un monitor, un teclado y un ratón.
6. Enciende la Raspberry Pi. OpenPlotter se iniciará automáticamente.
7. Sigue las instrucciones en pantalla para configurar OpenPlotter y conectar tus dispositivos electrónicos a bordo.

¿Es posible utilizar emisor-receptor AIS y recibir su información mediante OpenPlotter?

Sí, es posible utilizar un emisor-receptor AIS y recibir su información mediante OpenPlotter. Para hacerlo, necesitarás un dispositivo AIS compatible y un puerto serie para conectarse al ordenador. Una vez que tengas el dispositivo AIS conectado al ordenador, deberás configurar OpenPlotter para recibir los datos AIS. Para hacerlo, sigue estos pasos:

1. Abre OpenPlotter y ve a la pestaña "AIS" en el menú principal.
2. Haz clic en el botón "Conectar" para establecer una conexión con el dispositivo AIS.
3. Configura la fuente de datos AIS en OpenCPN. Ve a "Configuración" en el menú principal y selecciona "Entradas de datos". Aquí, asegúrate de que la entrada AIS esté configurada correctamente y que esté seleccionada como fuente de datos.
4. Configura las opciones de visualización de AIS en OpenCPN. Ve a "Configuración" en el menú principal y selecciona "Opciones de visualización". Aquí podrás configurar las opciones de visualización de los objetivos AIS en la carta náutica. Una vez que esté configurado correctamente OpenPlotter y OpenCPN, podrás recibir la información AIS en tiempo real y visualizarla en la carta náutica.

Es importante tener en cuenta que la compatibilidad del dispositivo AIS y los puertos seriales disponibles pueden variar, por lo que es posible que necesites realizar algunos ajustes en la configuración de OpenPlotter para asegurarte de que la información AIS se reciba correctamente.

¿Cómo puedo visualizar la información de OpenPlotter en una tablet u otro dispositivo móvil?

OpenPlotter es un sistema operativo de código abierto basado en Raspberry Pi para la navegación marítima. Si deseas visualizar la información de OpenPlotter en una tablet, hay varias opciones que puedes considerar:

• VNC: Puedes utilizar VNC (Virtual Network Computing) para conectarte a tu Raspberry Pi desde la tablet. Debes instalar un servidor VNC en tu Raspberry Pi y un cliente VNC en tu tablet. De esta forma, podrás acceder al escritorio de OpenPlotter y ver la información.
• Navegador web: OpenPlotter tiene un servidor web integrado que te permite acceder a la información a través de un navegador web. Simplemente, abre un navegador web en tu tablet y escribe la dirección IP de tu Raspberry Pi seguida del puerto 80. Por ejemplo, si la dirección IP de tu Raspberry Pi es 192.168.1.10, escribe "http://192.168.1.10:80" en el navegador web de tu tablet.
• Aplicaciones específicas: Hay varias aplicaciones específicas de navegación que se pueden ejecutar en una tablet y que se pueden conectar a OpenPlotter. Estas aplicaciones pueden recibir la información de OpenPlotter a través de NMEA0183 o NMEA2000 y mostrarla en una interfaz fácil de usar. Algunas de las aplicaciones populares son: iSailor, iNavX, Navionics, además de OpenCPN (de la que se habla en este artículo como complemento a OpenPlotter), etc.

¿Es posible instalar OpenPlotter en una plataforma Windows?

Sí, es posible instalar OpenPlotter en una plataforma Windows, pero es un poco diferente a la instalación en una plataforma Raspberry Pi. Para instalar OpenPlotter en una plataforma Windows, debes seguir los siguientes pasos: Descarga e instala VirtualBox en tu ordenador Windows. VirtualBox es un software de virtualización que te permitirá crear una máquina virtual en la que podrás instalar OpenPlotter. Descarga la imagen de OpenPlotter desde la página oficial de OpenPlotter. Selecciona la opción "Download for VirtualBox". Crea una nueva máquina virtual en VirtualBox. En la pantalla de creación de máquina virtual, selecciona "Linux" como sistema operativo y "Debian (64-bit)" como versión. Asigna la cantidad de memoria RAM y espacio de almacenamiento que desees. En la pantalla de configuración de almacenamiento de la máquina virtual, agrega la imagen de OpenPlotter que descargaste en el paso 2 como un disco duro virtual. Inicia la máquina virtual y sigue las instrucciones para instalar OpenPlotter. Una vez que hayas instalado OpenPlotter en la máquina virtual, podrás utilizarlo en Windows como lo harías en una plataforma Raspberry Pi. Ten en cuenta que es posible que necesites ajustar la configuración de red de la máquina virtual para que se conecte correctamente con los dispositivos externos, como el GPS.

¿Cómo puedo utilizar OpenCPN con OpenPlotter?

OpenCPN es un software de navegación que se integra perfectamente con OpenPlotter. Aquí te dejo los pasos para utilizar OpenCPN con OpenPlotter:

1. Descarga e instala OpenCPN en tu ordenador. Puedes descargarlo desde su página oficial: https://opencpn.org/
2. Abre OpenPlotter y asegúrate de que el servicio de señal GPS esté activado. Si aún no lo has hecho, puedes configurarlo en la pestaña "GNSS" del menú principal de OpenPlotter.
3. Abre OpenCPN y configura el receptor GPS. Ve a "Configuración" en el menú principal y selecciona "Entradas de datos". Aquí, asegúrate de que la entrada GPS esté configurada correctamente y que esté seleccionada como fuente de datos.
4. Configura la carta náutica. Abre el menú "Archivo" y selecciona "Nuevo". Aquí podrás seleccionar la carta náutica que quieres utilizar. Si ya tienes una carta náutica instalada en tu ordenador, podrás seleccionarla desde aquí.
5. Configura las opciones de navegación. Abre el menú "Configuración" y selecciona "Opciones de navegación". Aquí podrás configurar las opciones de navegación, como la unidad de medida, el rumbo, la velocidad, etc.

¿Es posible instalar OpenCPN en una plataforma Windows?

Sí, es posible instalar OpenCPN en una plataforma Windows. Para hacerlo, debes seguir los siguientes pasos:

1. Descarga el instalador de OpenCPN para Windows desde la página oficial de OpenCPN: https://opencpn.org/
2. Ejecuta el archivo de instalación y sigue las instrucciones en pantalla para instalar OpenCPN en tu ordenador Windows.
3. Una vez instalado, abre OpenCPN y configura la fuente de datos GPS. Ve a "Configuración" en el menú principal y selecciona "Entradas de datos". Aquí, asegúrate de que la entrada GPS esté configurada correctamente y que esté seleccionada como fuente de datos.
4. Configura la carta náutica. Abre el menú "Archivo" y selecciona "Nuevo". Aquí podrás seleccionar la carta náutica que quieres utilizar. Si ya tienes una carta náutica instalada en tu ordenador, podrás seleccionarla desde aquí.
5. Configura las opciones de navegación. Abre el menú "Configuración" y selecciona "Opciones de navegación". Aquí podrás configurar las opciones de navegación, como la unidad de medida, el rumbo, la velocidad, etc.
6. Una vez esté todo configurado ya podrás empezar a navegar con OpenCPN en tu ordenador Windows.

Nota: Es importante tener en cuenta que, al utilizar OpenCPN en Windows, es posible que necesites instalar controladores adicionales para que funcione correctamente con el GPS o con otros dispositivos de navegación. También debes asegurarte de que tu ordenador cumpla con los requisitos mínimos de hardware para ejecutar OpenCPN.

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Polipastos

En mi blog de física he escrito algunos artículos que tratan sobre polipastos cuyo uso es importante en el campo de la navegación a vela. En ellos analizo diversos sistemas, y creo que su lectura puede ser muy interesante para comprender los principios de estas humildes y fascinantes máquinas que permiten desmultiplicar fuerzas. A efectos de implementar polipastos con medios de fortuna (mosquetones, poleas, autobloqueanes, poleas antirretorno, etcétera), sugiero también la lectura del artículo que he escrito en mi blog de montaña.

Créditos de la imagen: Wikipedia

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